Почему состояния спинового мультиплета должны иметь одинаковую симметрию?

Определять$\mathbf{J}=\mathbf{S}_1 + \mathbf{S}_2$где$\mathbf{J}$по определению является полным угловым моментом двух идентичных, скажем, половинных угловых моментов. Определять$\sigma$быть операцией, которая меняет местами два спина, т. е. обозначает операцию:$1\leftrightarrow 2$. Тогда легко увидеть, что$\sigma$коммутирует с$\mathbf{J}$как$\mathbf{S}_1 + \mathbf{S}_2=\mathbf{S}_2 + \mathbf{S}_1=\mathbf{J}$. (Рассуждение может быть распространено на случай добавления$N$одинаковые спины, где$\sigma$заменяется любым парным обменом, который генерирует группу перестановок в$N$элементы.)

Возвращаясь к случаю двух спинов, отсюда следует, что мы можем одновременно диагонализовать$J^2,J_z$и$\sigma$. Действие$\sigma$обязательно должен принимать собственное состояние$J^2,J_z$к одному с таким же$J^2,J_z$собственные значения. Но добавление двух угловых моментов говорит о том, что кратность$J^2$собственное значение равно единице. Это неверно, когда вы добавляете более двух вращений. Отсюда следует, что для каждого заданного значения$J^2$, мультиплет имеет определенный$\sigma$собственное значение. С$\sigma^2=1$, его собственные значения должны быть$\pm1$.

Однако ни$S_{1z}$или$S_{2z}$ездить с$\sigma$. Таким образом, у нас есть

$$\sigma\ |\ell,m_1,\ell,m_2\rangle = |\ell,m_2,\ell,m_1\rangle\ ,$$ в обозначениях, где $\ell(\ell+1)$это $S_i^2$собственное значение и $(m_1,m_2)$являются собственными значениями $(S_{1z},S_{2z})$соответственно. Так что в общем случае действие сигмы не является диагональным, если только $m_1=m_2$. Возвращаясь к примеру профессора Балакришнана. Он рассматривал две спиновые получастицы. $(j=1,m=\pm1)$состояния возникают только тогда, когда $m_1=m_2=\pm\tfrac12$и из приведенного выше аргумента должны быть симметричными. Однако $(j=1,m=0)$и $(j=0,m=0)$состояния возникают как линейные комбинации $m_1=-m_2$состояния, не являющиеся диагональными. Однако, поскольку $(j=1,m=0)$состояние может быть получено с помощью понижающего оператора $J_-$(который соединяется с $\sigma$), будет то же самое $\sigma$собственное значение как состояние, из которого оно было построено, т.е. $(j=m=1)$, что является симметричным. Синглетное состояние должно быть (i) ортогональным триплетному $m=0$состояние и обязательно должно быть собственным состоянием $\sigma$(Я могу привести точный аргумент, если хотите) (ii) антисимметричный.

Для суммы N одинаковых спинов все, что можно сказать, это то, что существует базис мультиплетов, организованных/помеченных представлениями группы перестановок (заданными диаграммами Юнга) в дополнение к$J^2$собственное значение.

Одна из симметрий, обсуждаемых в физике, — это изотропия пространства против переносов и вращений. Если мы с вами проводим один и тот же эксперимент, но я провожу эксперимент в повернутой системе отсчета, где я стою на голове, мы ожидаем получить одинаковый результат. Именно инвариантность относительно вращений приводит нас к сохранению углового момента.

(Действительно, здесь, на поверхности Земли, стоять на голове совсем не то, что стоять на ногах, и, как следствие, угловой момент в этой неинерционной системе отсчета не сохраняется: наклоните гироскоп, и его ось прецессирует.)

Если у вас нет члена в вашем гамильтониане, который явно определяет предпочтительное направление (например, связь с магнитным полем), любое свойство вашей системы должно быть инвариантным относительно произвольного выбора координат. Это включает в себя проекцию углового момента на произвольную ось.

---

Например, давайте предположим, что я подготовил две частицы с половинным спином в состоянии со спином один и большой спиновой энергией, такие как два протона в ортоводороде. Я готовлю некоторые из них, поляризованные по одному направлению, и посылаю их вам. Но мы неправильно общаемся, и я даю их вам поляризованными вдоль $x$-ось вместо $z$-ось. в $S_z$базис, собственные векторы $S_x$являются $$\left|\rightarrow\right> = \frac{\left|\uparrow\right>+\left|\downarrow\right>}{\sqrt2} \quad\quad \left|\leftarrow\right> = \frac{\left|\uparrow\right>-\left|\downarrow\right>}{\sqrt2}$$ и поэтому вы анализируете мое двухспиновое состояние как $$\begin{align*} \left|\rightarrow\rightarrow\right> &= \frac{\left|\uparrow\right>+\left|\downarrow\right>}{\sqrt2} \otimes \frac{\left|\uparrow\right>+\left|\downarrow\right>}{\sqrt2} \\ &= \frac{\left|\uparrow\uparrow\right>}{2} + \frac{\left|\uparrow\downarrow\right> + \left|\uparrow\downarrow\right>}{2} + \frac{\left|\downarrow\downarrow\right>}{2}. \end{align*}$$

Обратите внимание, как это симметричное состояние в одном базисе перекрывается со всеми симметричными состояниями в другом базисе, но не перекрывается с антисимметричным состоянием. Но более убедительным аргументом для меня является теплофизика. Для сжижения ортоводорода требуется отвести примерно в два раза больше тепла, чем для сжижения параводорода, потому что орто-водород превращается в пара после скачка плотности, а теплота этого превращения сравнима с теплотой испарения. Если симметричный,$m_s=0$состояние соответствует бесспиновому параводороду, эти математические выражения предполагают, что тепло, необходимое для сжижения поляризованного ортоводорода, различается в зависимости от оси вращения, используемой вашим холодильником. Это вообще не имело бы никакого смысла!

Вы можете убедиться сами, что проекция$\left|\uparrow\uparrow\right>$на$y$-ось также включает только симметричные комбинации (собственные векторы равны$(1,±i)$), что спиновый синглет антисимметричен в каждом базисе и т.д. В частности, легко показать, что симметричный$m=0$проекция на$x$-ось содержит только проекции с$m=±1$на$z$-ось:

$$\begin{align*} \frac{ \left| \rightarrow\leftarrow \right> + \left| \leftarrow\rightarrow \right> }{\sqrt2} &= \frac{1}{\sqrt2} \left( \frac{ \left| \uparrow \right> + \left| \downarrow \right> }{\sqrt2} \otimes \frac{ \left| \uparrow \right> - \left| \downarrow \right> }{\sqrt2} + \frac{ \left| \uparrow \right> - \left| \downarrow \right> }{\sqrt2} \otimes \frac{ \left| \uparrow \right> + \left| \downarrow \right> }{\sqrt2} \right) \\ &= \frac{ \left| \uparrow\uparrow \right> - \left| \uparrow\downarrow \right> + \left| \downarrow\uparrow \right> - \left| \downarrow\downarrow \right> }{2\sqrt2} + \frac{ \left| \uparrow\uparrow \right> + \left| \uparrow\downarrow \right> - \left| \downarrow\uparrow \right> - \left| \downarrow\downarrow \right> }{2\sqrt2} \\ &= \frac{ \left| \uparrow\uparrow \right> - \left| \downarrow\downarrow \right> }{\sqrt2} \end{align*}$$