Как интерпретировать наблюдаемые за спином, построенные нестандартным фазовым выбором?

Если мы попытаемся найти матричные элементы лестничных операторов ($J_{\pm}$) для спина, когда они действуют на собственные состояния$J^2$и$J_z$($\newcommand{ket}[1]{\left|#1\right\rangle} \newcommand{avg}[1]{\left\langle#1\right\rangle} \ket{\ j,m}$), как, например, AR Edmonds: Angular Momentum in Quantum Mechanics, или Auletta: Quantum Mechanics, или любой другой учебник, посвященный этому вопросу, мы приходим к точке, где обнаруживаем, что:

Обычно мы устанавливаем$\phi=0$для всех вариантов m при фиксированном j. Теперь стандартное объяснение этого состоит в том, что выбор фазы произвольный, но ему нужно следовать последовательно (например, Эдмондс или Кондон, Шортли).

Я хотел бы указать на некоторые проблемы с этим объяснением, а затем показать, что произойдет, если мы попытаемся поиграть с выбором фазы. Самым важным моментом будет то, что мы позволим выбрать другую фазу$\phi=\phi(m)$для разных m, в отличие от выбора одной и той же фазы для каждого m (частным случаем которого является стандартный выбор$\phi=0$для всех m). Эта идея исходит из того факта, что нет (по крайней мере, очевидной) причины утверждать, что из стандартного вывода матричных элементов лестничных операторов следует, что фазы должны быть одинаковыми для всех m.

Мы рассмотрим пример матриц со спином = 1. Стандартный выбор$\phi=0$для всех матричных элементов дает следующие матрицы лестничных операторов, а затем наблюдаемые спина в направлении z, x и y:

Теперь, если мы выберем настройку фазы для$j_+\ket{1,0}$до 0,$\phi(m=0)=0$, но для$j_+\ket{1,-1}$мы устанавливаем его на другую фазу,$\phi(m=-1)=\pi/2$строим следующие матрицы:

Теперь, чтобы внести ясность, я должен отметить, что новый$j_x$и$j_y$имеют те же собственные значения, что и стандартные, и удовлетворяют той же старой алгебре углового момента, хотя их собственные состояния различны. В результате ожидаемые значения этих различных наблюдаемых различны в некоторых суперпозициях$\ket{1,m}$, что интересно, так как это то, что мы наблюдаем в экспериментах.

В качестве примера, вот график, который показывает, как ожидаемые значения$j_x$и$j_y$о состоянии$\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\ket{1,1}+\ket{1,0}+\ket{1,-1}\right)$измениться, когда мы сохраним фазу$\phi(0)=0$(то же, что и выше), но мы меняем$\phi(-1)$(что для приведенных выше матриц установлено в$\pi/2$). На графике$\avg{j_x}$находится в красном и$\avg{j_y}$находится в синем цвете.

Для сравнения, вот график, показывающий, как ожидаемые значения$j_x$и$j_y$о состоянии$\ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\ket{1,1}+\ket{1,0}+\ket{1,-1}\right)$меняются, когда мы меняем обе фазы одновременно и в равной степени:$\phi(0)=\phi(-1)=\phi$что является стандартным выбором фазы (в учебниках) и эквивалентно вращению системы координат вокруг оси z. Это видно по ожидаемым значениям$j_x$и$j_y$обменяться, как мы меняемся$\phi$. На следующем графике$\avg{j_x}$снова в красном и$\avg{j_y}$находится в синем цвете.

Один интересный момент заключается в том, что наблюдаемые мы строим, выбирая разные фазы для разных матричных элементов лестничных операторов, т.е.$\phi(0) \neq \phi(-1)$, не может быть записана в виде линейной комбинации стандартных операторов (даже с комплексными коэффициентами).

Еще одна интересная вещь, которую следует отметить, заключается в том, что эти различные наблюдаемые возникают только для спина >= 1, поскольку для спина = 1/2 только один матричный элемент лестничных операторов отличен от 0.

Мой вопрос в том, знает ли кто-нибудь интерпретацию этих "$j_x$" и "$j_y$"мы строим, выбирая разные фазы? Далее, знает ли кто-нибудь аргумент, о котором я не знаю, в пользу выбора одной и той же фазы для каждого матричного элемента, в отличие от моего выбора разных фаз (мне кажется, что стандартный выбор просто частный случай более общего выбора, но я пока не понимаю, как интерпретировать результаты)?