Почему существует фазовый фактор, когда два составных угловых момента обмениваются коэффициентами Клебша – Гордана?

Ваша ошибка заключается просто в утверждении, что государство$|j_1 m_1\rangle$и$|j_2 m_2\rangle$являются одним и тем же физическим состоянием: это абстрактные метки углового момента, они не являются полным описанием состояния. Эти два состояния будут одинаковыми только тогда, когда два объекта, несущие эти квантовые числа, неразличимы во всех отношениях, как два электрона со спином 1/2 в S-волне в основном состоянии атома гелия. В этом случае выживает только антисимметричная комбинация спин-0, где фазовый множитель$(-1)^{j_1+j_2 + J}$равно -1. Два электрона являются фермионами, так что вы видите, что два состояния должны получить знак минус, а это возможно только тогда, когда они являются комбинацией спинов 0. Версии основного состояния He4 со спином 1 не существует, потому что два электрона не могут иметь выровненный спин, поскольку они являются фермионами.

Чтобы понять фазовый фактор, используйте несколько примеров и лучшую теорию представления SU (2). Примеры - закон комбинации векторов:

$$A \cdot B$$ $$A \times B$$ $$(AB)_{ij} = {1\over 2}(A_i B_j + B_j A_i) - {1\over 3} A\cdot B \delta_{ij}$$

Это спин-0, спин-1 и спин-2 части произведения двух векторов в обозначении индекса SO (3). Вы можете видеть, что часть спина 1 антисимметрична при перестановке, а части спина 2 и спина 0 симметричны.

Точно так же антисимметричная комбинация спин-1/2-спин-1/2 является синглетной, а симметричная - триплетной. Это легче всего увидеть в индексной нотации SU(2), где

$$\epsilon_{ij} a^i b^j$$

— синглет, образованный векторами SU(2)$a^i$и$b^i$, а тройка

$$(AB)^{ij} = (a^i b^j + a^j b^i )$$

Который симметричен. Остерегайтесь этого$AB^{12}$не нормализован должным образом по сравнению с обычным учебником$|j,m\rangle$презентация. Одно из состояний 2-тензора (2-тензора SU(2), объекта со спином 1) есть

$$|1,0\rangle$$

при представлении в виде тензора SU (2) он имеет компоненты

$$(AB)^{12} = (AB)^{21} = {1\over \sqrt 2 }$$

Эти числа определяются путем проверки того, что тензор нормализован, и дают вам квадратный корень из целочисленных множителей. В других штатах этих раздражающих факторов нет, но они создают коэффициенты Клебша-Гордона.

Теория представлений SU(2), выраженная в тензорах, делает$J=j_1+j_2$представление путем умножения двух тензоров для$j_1$и$j_2$без всяких эпсилонов. Получается полностью симметричная вещь, в которой вы избавляетесь от антисимметричных частей.

По мере того, как вы уходите из J, вы получаете$\epsilon$тензор каждый раз, когда вы идете вниз, меняя симметричный/антисимметричный характер. Этот способ представления теории является самым простым способом, он позволяет вам держать в голове коэффициенты Клебша-Гордона. Это подробно описано в этом ответе: Математически, что такое цветовой заряд? .

Фактическая общая фаза Клебша-Гордана является предметом соглашения. Это легко увидеть на простейшем примере: взаимодействие двух частиц со спином 1/2. Состояние с угловым моментом L=0 и M=0 является антисимметричным и может быть записано (с точностью до нормировки) как

$$|\textstyle\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle_2 - |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle_2$$ Относительная фаза необходима, если это состояние должно быть ортогональным состоянию L=1, M=0, но мы могли бы также принять $$-|\textstyle\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle_2 + |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle_2$$ как $L=0, M=0$состояние: этот второй выбор по-прежнему уничтожается $L_+$и все еще собственное состояние $L_z$с собственным значением $0$, таким образом, это одинаково хороший выбор $L=0,M=0$состояние.

В более общих случаях, когда$L$не является$L_1+L_2$, числа Клебша должны содержать отрицательные знаки, чтобы обеспечить ортогональность между состояниями разных$L$, но одинаковые значения$M$. Относительное положение этих знаков полностью определяется ортогональностью с другими состояниями, но общий знак является вопросом удобства: то, что мы называем первой или второй «системой», является чисто условным.

Существует несколько соглашений, используемых для выбора общего знака. В теории углового момента наиболее распространенным является закон Кондона-Шортли (но он не единственный). Энциклопедический текст Varshalovich et al. дает краткое изложение условных обозначений, используемых несколькими авторами.

Одной из особенностей фазового соглашения CS как раз и является то, что оно создает фазовые отношения указанного выше типа, когда мы меняем местами две метки. Таким образом, этот выбор удобен для целей табуляции: в основном нужно табулировать коэффициенты только тогда, когда$L_1\ge L_2$так как случаи, когда$L_2>L_1$получаются перестановкой и связаны с исходным случаем изменением фазы.