Почему теория λϕ4λϕ4\lambda\phi^4, где λ>0λ>0\lambda>0, не ограничена снизу?

$\cal H \sim \frac{\lambda}{4!} \phi ^4$(обратите внимание, что этот член имеет противоположный знак в лагранжиане).$\lambda$должен быть действительным из-за унитарности и должен быть положительным из-за вакуумной устойчивости или, что то же самое, поскольку гамильтониан должен быть ограничен снизу. Если$\lambda$были отрицательными, тем больше значение$\phi$, тем более отрицательным может быть гамильтониан и, следовательно, может существовать невакуумное состояние (или основное состояние).

Теперь на квантовом уровне, даже если$\lambda$положительно на классическом уровне вакуум может быть неустойчивым или метастабильным. Это может произойти, если ренормализационная группа превращает классическое положительное значение в отрицательное. Чтобы знать, так ли это, вы должны знать полную теорию. Например, измеренное значение четвертой самосвязи поля Хиггса приводит к неустойчивому вакууму при достаточно высоких энергиях. Смотрите это: Измеренная масса бозона Хиггса и стабильность вакуума

Причина привлекательности$\lambda \phi^4$нефизичен, потому что достаточная плотность$\phi$У частиц есть само взаимодействие, которое компенсирует их массу-энергию, поэтому создание конденсата частиц с большой плотностью требует меньше энергии, чем оставить вакуум в покое.

Это означает, что вакуум самопроизвольно распадется чудовищным взрывом в пузыре до состояния, когда поле скатывается в плюс-минус бесконечность. Чтобы убедиться в этом, вы можете рассмотреть энергию классического полевого состояния

который

и unbouded ниже. Проблема с этим строгим (хотя и вполне убедительным) состоит в том, что трудно записать волновые функции для квантовых полей с конечной плотностью энергии. Вы обычно используете интеграл пути, чтобы определить это. Хотя физически очевидно, что волновая функция поля$\phi$которая достигает максимума при большом постоянном значении, будет иметь сколь угодно отрицательную энергию, создание такой вещи — кошмар, потому что вам нужно контролировать корреляции на коротких расстояниях в волновой функции, чтобы убедиться, что они не имеют бесконечной энергии в ультрафиолете, что является болью.

Но есть простой способ обойти это, как сегодня все анализируют стабильность вакуума после Коулмана. Используйте интеграл по путям, чтобы показать, что существует инстантон, который приводит к распаду вакуума. В этом случае евклидово действие

Затем вы замечаете, что это можно рассматривать как классическую систему с потенциалом

и классические уравнения движения для этой штуки имеют замкнутое решение с нулевой энергией, где$\phi$колеблется до большого значения в регионе, пока не достигнет$\lambda\phi^4$стену и возвращается. Вклад инстантона заключается в том, чтобы дать скорость зародышеобразования из$\phi=0$вакуум, подробно рассчитанный в «Аспектах симметрии» Коулмана. Существенным моментом является то, что флуктуации вокруг решения с нулевой энергией имеют одно отрицательное собственное значение, то есть отрицательный определитель, так что квадратный корень из определителя имеет мнимую часть, что приводит к медленному колебательному поведению в мнимом времени, которое представляет собой скорость затухания в реальном времени. время.

Но я буду использовать его гораздо проще, чтобы доказать, что в теории нет стабильного вакуума. Предположим, что вакуум устойчив, тогда волновая функция вакуума представляет собой вероятность нахождения данного$\phi$конфигурации в любой постоянный отрезок времени в мнимом времени, используя действие мнимого времени. Это известное отношение интеграла по траекториям.

Но мнимое временное распределение вероятностей для значений поля имеет вид$e^{- S}$где S неограниченно снизу! Итак, поле$\phi$не имеет нормированной в обычном смысле волновой функции основного состояния. Я дал этот ответ, хотя ответа Дрейка было достаточно, потому что вы не выглядите убежденным.