Вакуумные пузырьки и уменьшение LSZ

Позвольте мне предварить это, сказав, что у меня нет проблем с этим:

$$\langle\Omega|T\phi_H\cdots\phi_H|\Omega\rangle = \frac{\langle 0|T\phi_I\cdots\phi_IS|0\rangle}{\langle 0|S|0 \rangle},$$

я хочу знать, почему мы хотим вычислить$\langle\Omega|T\phi_H\cdots\phi_H|\Omega\rangle$совсем.

Скажем, у вас есть начальное состояние$|i\rangle$в картине взаимодействия реальной скалярной теории поля, которая является собственным состоянием свободного гамильтониана, но не взаимодействующего гамильтониана. Однако то, что это не собственное состояние гамильтониана, не означает, что оно нефизично, это просто состояние суперпозиции:

$$|i\rangle = |\Omega\rangle\langle\Omega|i\rangle + \sum_{n=1}^{\infty}|n\rangle\langle n|i\rangle$$

где$|n\rangle$являются собственными состояниями полного взаимодействующего гамильтониана (какими бы они ни были). Вы можете расширить$|i\rangle$через произведение полей, действующих на$|0\rangle$(вакуум свободной теории):

$$|i\rangle = \prod_{a=1}^{b}\int\left(d^3y^{(a)}\ 2E_{q^{(a)}}\ e^{iq^{(a)} \cdot y^{(a)}}\phi[t;y^{(a)}]\right)|0\rangle$$

и в этом утверждении все еще нет ничего плохого. Если у вас действительно есть испуг, вы можете расширить$|0\rangle$с точки зрения$|\Omega\rangle$и$|n\rangle$и получить все с точки зрения взаимодействующего собственного базиса Гамильтона (если вы сделаете это, а затем продвинетесь вперед во времени, вы получите первое уравнение). Вы можете сделать аналогичную конструкцию для$|f\rangle$, конечное состояние.

Тогда вам нужно рассчитать вероятность того, что$|i\rangle$превратился в$|f\rangle$через некоторое время$t_1 - t_0$прошел:

$$P = \langle f|U_{int}(t_1,t_0)|i\rangle$$

а затем, используя приведенное выше расширение для$|i\rangle$и$|f\rangle$вы можете получить:

$$P = \\ \prod_{a=1}^{b}\int\left(d^3y^{(a)}\ 2E_{q^{(a)}}\ e^{iq^{(a)} \cdot y^{(a)}}\right)\prod_{a=1}^{b'}\int\left(d^3z^{(a)}\ 2E_{r^{(a)}}\ e^{ir^{(a)} \cdot z^{(a)}}\right) \\ \langle 0|\prod_{a=1}^{b'}\left(\phi[t;z^{(a)}]\right) U_{int}(t_1,t_0) \prod_{a=1}^{b}\left(\phi[t;y^{(a)}]\right)|0 \rangle$$

и последний член выглядит как

$$\langle 0|T\phi_I\cdots\phi_I U_{int}(t_1,t_0)|0\rangle$$

без деления на$\langle 0|S|0 \rangle$или даже$t_{0,1} \to \pm \infty,\ U_{int}(t_1,t_0) \to S$необходимый.

Мой вопрос в том, что не так с тем, как мы построили$P$для этого необходимо взять бесконечный предел во времени и разделить вакуумные пузыри ($\langle 0|S|0 \rangle$)? Насколько я могу судить, в этом нет необходимости; мы выбираем$|i\rangle$и ничто не мешает нам выбрать его как собственное состояние свободного поля, и мы выбираем$|f\rangle$сходным образом. Единственные подводные камни, которые я вижу, это если$|i\rangle$ортогонален всему взаимодействующему собственному базису (что сделало бы его неполным как базис), или что$P=0$потому что эволюция под взаимодействующим гамильтонианом занимает$|i\rangle$далеко от невзаимодействующих состояний.