Почему теория Ландау не ошибается при рассмотрении фазового перехода первого рода?

Вот проблема, когда я могу сделать расчет, но я не понимаю философии, стоящей за этим. Речь идет о теории Ландау :

Теория фазовых переходов Ландау основана на идее, что свободная энергия системы может быть разложена в степенной ряд параметра порядка. Для фазового перехода второго рода параметр порядка развивает ожидаемое значение, которое непрерывно изменяется от нуля, поэтому такое расширение мощности имеет прочные математические основания. Однако для фазового перехода первого рода, поскольку имеет место скачок параметра порядка, параметр порядка никогда не становится бесконечно малым. Если так, то почему теория Ландау до сих пор широко используется для фазового перехода первого рода, даже если расширение кажется недействительным для фазового перехода?

Скачок, который вы наблюдаете, можно получить, добавив кубический член (среди прочего) к выражению свободной энергии Ландау. Условие непрерывности возникает из-за того, что выражение Ландау остается четной функцией. Я надеялся добавить это в качестве комментария, но, похоже, для этого мне нужна фальшивая валюта.
Да, в основном вы должны предположить существование метастабильной ветви свободной энергии, чтобы «оправдать» процедуру. Обратите внимание, однако, что это предположение просто неверно для моделей ближнего действия (можно, например, строго доказать, что в модели Изинга есть существенная особенность в любом измерении, которая препятствует аналитическому продолжению свободной энергии за точку перехода ).
У меня нет проблемы непрерывности свободной энергии. что меня смущает, так это само расширение. Хотя свободная энергия непрерывна, «малый параметр», который можно использовать, не мал.

Ответы (1)

Суть в следующем: теория Ландау не предполагает, что параметр порядка мал. Все это предполагает, что свободная энергия является аналитической по параметру порядка. Затем эту свободную энергию обычно расширяют до некоторого порядка (который, возможно, по определению является «аналитическим»). Важно понимать, что расширение функции в переменной до некоторого порядка не означает, что эта переменная должна быть маленькой ! Это просто означает, что термины, которые мы выбрасываем, должны быть маленькими, а это другое дело.

Возьмем пример. Предположим, что нам передана несколько необычно выглядящая свободная энергия, которая действительно является аналитической:

Ф ( ф , Т ) знак равно ф 2 − 2 + е − ф 4 Т + чушь ⁡ ( ф 3 )
При высоких температурах выбирается минимум свободной энергии ф знак равно 0 . Около Т ≈ .3 , имеет место переход первого порядка к ф ≠ 0 . Следующие два графика дают интуитивно понятную картину (ось X — параметр порядка, ось Y — свободная энергия):

примеры фотографий

В теории Ландау эти свободные энергии обычно расширяют. Например, если мы расширим его до 8-го порядка, мы получим

Ф ( ф , Т ) знак равно ф 2 − ф 4 Т + ф 6 2 + ф 8 2 Т 2
В этом порядке график для Т знак равно 0,25 выглядит следующим образом:

введите описание изображения здесь

Итак, мы видим, что это уже дает хорошее представление о нашей свободной энергии в регионе. − 1 ≤ ф ≤ 1 . Это потому, что, несмотря ф не будучи маленькими, термины, которые мы выбросили, являются.

Обратите внимание, что если кого-то не интересуют количественные детали, а просто нужна интуитивная картина, то можно заметить, что Ф ( ф , Т ) знак равно ф 2 − ф 4 Т + ф 6 2 уже демонстрирует такое же качественное поведение. Кроме того, в этом порядке легко решить точно, и получается Т с знак равно 1 2 ≈ .7 что не является большим количественным соответствием более точному Т с знак равно .3 , но действует та же физика.

Как я могу сказать, что переход, изображенный в этом ответе, является фазовым переходом первого рода?
@jgerber Значение параметра порядка в зависимости от температуры, ф ( Т ) , определяется его минимизацией Ф ( ⋅ , Т ) . Глядя на графики, вы можете ясно видеть, что в то время как ф ( Т ) знак равно 0 за Т > Т с , оно прерывисто переходит к конечному значению, когда мы пересекаем Т с .
@jgerber Обратите внимание, мой предыдущий комментарий был ответом на ваш вопрос, если вы используете определение, согласно которому переход первого порядка имеет скачок в параметре порядка. Если вместо этого вы спрашиваете, как увидеть, что свободная энергия имеет изгиб, когда мы пересекаем Т с , обратите внимание, что ниже температуры перехода значение Ф ( Т ) знак равно Ф ( п час я ( Т ) , Т ) определяется локальными минимумами Ф ( ⋅ , Т ) (тот, что вдали от источника). В частности, скорость изменения значения этого минимума при настройке T конечна при Т знак равно Т с . С другой стороны, конечно, г Ф ( Т ) / г Т знак равно 0 за Т > Т с (как тогда Ф ( Т ) знак равно 0 ).
Может быть, я пропускаю что-то глупое. Но почему вы говорите «несмотря на ф не малы, термины, которые мы отбросили, являются ". Представляется существенным, что вы заинтересованы в ф < 1 область, край. Если вас интересует большой ф области ясно, что ваше приближение будет выбрасывать всю информацию. В вашем примере вообще нет интересной структуры ф но я предполагаю, что может быть, если мы вычтем соответствующим образом выбранный термин (может быть, что-то вроде чушь ⁡ ( ф н ) для некоторых н заставляя конкурировать две растущие экспоненты.
Почему теория Ландау не ошибается при рассмотрении фазового перехода первого рода?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v