Всегда ли оправдана дискретизация гамильтониана с использованием конечной разности?

[Я ответил на это, исходя из предположения, что вы говорили о аппроксимации системы твердотельного типа, поэтому ответ довольно специфичен. Проблема фактического определения континуального предела квантовой теории поля нетривиальна.]

Обычный способ перейти к континуальному пределу — перейти в пространство Фурье. Поскольку вы находитесь на решетке, вы окажетесь в зоне Бриллюэна. Принятие непрерывного предела теперь эквивалентно тому, чтобы сделать зону Бриллюэна бесконечной, а не периодической. Затем вы можете использовать обычное преобразование Фурье, чтобы получить теорию непрерывного реального пространства. Переход от континуума к решетке является обратным процессом.

Это, я думаю, дает понять, когда можно совершить эту трансформацию. Вы можете это сделать, если

1) Вас интересуют волновые векторы в области ЗБ, которая не знает о размере ЗБ. Это включает в себя не только наивное предположение о малых волновых векторах, но и то, что фермионы замыкают большую поверхность Ферми. И, конечно же, все внешние возмущения должны быть связаны с этой небольшой областью.

2) Вас не интересуют никакие процессы, знающие о периодичности решетки. Таким образом, никакого рассеяния Умклаппа, никакого вложения поверхностей Ферми и т. Д. И то, и другое может быть очень важным. Например, ваша решетчатая модель на квадратной решетке при половинном заполнении имеет идеальные векторы вложенности. Это приводит к антиферромагнитным состояниям, которые не имеют эквивалента в континуальной модели (я думаю).

Другой способ думать о pt. (2) заключается в том, что ваши модели континуума и решетки имеют совершенно разные группы симметрии. Ваша модель континуума имеет непрерывные переводы$\mathbb{R}^n$тогда как модель решетки имеет симметрии$\mathbb{Z}^n$. Каждый раз, когда вы меняете симметрию, вы должны быть осторожны.

Они также имеют разную вращательную симметрию. Я вижу, что в вашей конкретной модели вы также расширили дисперсионное соотношение, взяв$E = p^2/2m - \mu$в континууме. Это дает вам сферическую поверхность Ферми, в то время как модель решетки может иметь чрезвычайно асферическую форму (например, модель половинного заполнения). Во многих случаях это на самом деле нормально и приводит только к числовым расхождениям, но в крайнем случае вы должны знать об этом. Вы всегда можете изменить дисперсию на$E = v_F(p-p_F)$где$v_F$и$p_F$зависят от угла. Также будьте осторожны, чтобы случайно не сохранить или не разрушить вращательную симметрию, которой нет в модели решетки. Обычно они соответствуют нерелевантным операторам, но, опять же, будьте осторожны.