Почему топологические свойства описываются поверхностными терминами?

Примером могут служить аномалии в абелевой и неабелевой калибровочных квантовых теориях поля.

Например, абелева аномалия Ф ~ мю ν Ф мю ν а интеграл по этой величине есть топологический инвариант, измеряющий топологическую характеристику калибровочного поля А мю .

Все такие величины можно переписать в виде полных производных, а затем с помощью закона Гаусса преобразовать в поверхностный интеграл.

Какова интуитивная причина того, что величины, описывающие топологические свойства, всегда можно записать в виде поверхностных интегралов?

Потому что иначе они влияли бы на уравнения движения и были бы нетопологическими по определению?
@SolenodonParadoxus Поверхностные термины не влияют на уравнения движения, и это делает их разными. Все идет нормально. Теперь моя проблема заключается в том, чтобы увидеть связь с топологией. Возможно, лучшим примером является гидродинамическая спираль en.wikipedia.org/wiki/Hydrodynamical_helicity , которая также является топологической величиной и описывается поверхностным термином. Он описывает «узловатость вихревых линий в потоке». Почему мы описываем такую ​​топологическую характеристику системы поверхностным интегралом?
@SolenodonParadoxus Сформулировано немного по-другому: почему топологические свойства всегда полностью закодированы в границах системы?
-1. Не ясно. Вы спрашиваете, почему теорема о дивергенции работает?
@sammygerbil нет. Я спрашиваю, почему такая топологическая величина, как «узловатость вихревых линий в потоке» или «намотка калибровочных функций» полностью определяется поверхностным интегралом, т.е. полностью закодирована в границе системы
Существуют топологические термины, влияющие на уравнения движения. Известным примером являются термины Черна-Саймонса. В трехмерной КЭД Черна-Саймонса-Максвелла они разрывают фотон! Такой терм Черна-Саймонса является топологическим в том смысле, что он не нуждается в метрической структуре и в том смысле, что он чувствителен к топологии многообразия, на котором определяется теория.

Ответы (3)

Я даю вам ответ с точки зрения интегрального квантования путей.

Когда мы квантуем калибровочную теорию, нам нужно просуммировать все конфигурации связностей калибровочной группы на некотором многообразии по модулю калибровочного преобразования.

В отличие от аффинного пространства всех связностей (без деления калибровочным преобразованием), последнее пространство (связностей по модулю калибровочного преобразования) может быть несвязным, соответствующим разным секторам расслоений, которые не могут быть деформированы друг в друга никакой комбинацией диффеоморфизмов базы многообразные или непрерывные деформации переходных функций слоя.

В квантовой теории нам абсолютно необходимо суммировать по всем топологическим секторам интеграла по путям. Например, если мы не сделаем этого в задаче о движении частицы по окружности, мы не получим правильного ответа, даваемого уравнением Шредингера.

Черн и Вейль (см. следующее изложение Феко) открыли глубокую теорему о том, что существуют топологические инварианты, различающие главные или векторные расслоения с одной и той же структурной группой, которые могут быть выражены с помощью некоторых полиномов кривизны связности . Эти топологические инварианты не зависят ни от связности (они калибровочные инварианты), ни от напряженности поля, а только от расслоения. Более того, эти топологические инварианты — называемые характеристическими классами — могут быть выражены через классы когомологий базисного многообразия (поэтому они замкнуты).

Таким образом, мы можем использовать эти инварианты для взвешивания различных расслоений в интеграле по путям, потому что они не зависят ни от связностей, ни от полей, а только от расслоений.

Существуют и другие топологические инварианты, которые нельзя записать в терминах дифференциальных форм, например классы Штифеля–Уитни, от которых зависит существование фермионов на многообразии. Эти инварианты также влияют на интеграл по путям, однако для их учета необходимы более совершенные методы.

Стоит отметить, что не всякая замкнутая форма на базовом многообразии является образом характеристического класса (или может быть записана как комбинация характеристического класса). Таким образом, в качестве топологических терминов мы можем рассматривать только специальные типы замкнутых форм.

Большое спасибо! Пояснительные заметки Феко потрясающие. Один вопрос: как интерпретировать «разные пакеты», которые нам нужно здесь суммировать? Я знаю, что мы получаем совершенно другой пучок, например, когда присутствует монополь, по сравнению с вакуумным случаем. Впрочем, неудивительно, что для физически разных систем связки различны и по ним не нужно было бы суммировать. Таким образом, я полагаю, вы говорите о неэквивалентных связках для одной системы, например, вакуума. Соответствуют ли упомянутые вами неэквивалентные пучки, например, разным инстантонам (обмотка 1, 2 и т. д.)?
Да, разные расслоения в случае КХД — это инстантонные расслоения. Все они описывают разные конфигурации одной системы, а именно КХД.

Практически каждый раз, когда физик говорит «топологический инвариант», он имеет в виду топологический инвариант векторного расслоения (обычно векторного расслоения, в котором поля принимают значения), наиболее распространенными из которых являются классы Черна .

Классы Черна могут быть выражены как интегралы полиномов по кривизне (не имеет значения, какая кривизна, поэтому, даже если физическая теория не содержит калибровочного поля, вы можете просто выбрать/построить одно специальное) ∫ Ф ∧ Ф , и так получилось, что эти многочлены по кривизне являются локально полными производными от связанных с ними форм Черна-Саймонса . Итак, на уровне строгости физики, где сейчас обычно пренебрегают «локально», интегралы полиномов кривизны, которые дают классы Черна, являются интегралами полных производных, следовательно, «граничными членами». Более глубокая математическая история о том, почему полиномы кривизны, представляющие целочисленные классы когомологий расслоения в когомологиях Де Рама, должны быть такими полными производными, — это история вторичных характеристических классов и дифференциальных когомологий .

Следует, однако, подчеркнуть, что, как только мы попытаемся быть немного более строгими, чем средний физик, классы Черна не будут «поверхностными терминами». На самом деле эта терминология не имеет никакого смысла, потому что они являются инвариантами векторных расслоений над обычными многообразиями, а обычные многообразия не имеют границы — любые «поверхностные члены» просто исчезают на компактном многообразии и потенциально плохо определены. на некомпактных. На самом деле происходит то, что физик снова скрывает глобальное свойство расслоения в чем-то вроде компактифицированного пространства-времени. С 4 просто взглянув на него в одном из координатных патчей, вытолкнув всю структуру второго нужного патча «в бесконечность», т.е. «на поверхность», именно так, как в этом моем ответе на ваш вопрос о больших калибровочных преобразованиях.

Кроме того, «поверхностный термин» обычно несет в себе некоторый оттенок того, что выбор функции на поверхности все еще имеет значение, но это не так, класс Черна не зависит от выбора связи , как и должен быть истинный топологический инвариант, он является исключительно функцией топологического класса гомеоморфизма расслоения. Использование какого-либо калибровочного поля/кривизны для вычисления топологического инварианта - просто костыль , потому что это часто проще, чем «более чистые» топологические вычисления, особенно для физиков, которые не знакомы с такой топологией.

Это не полный ответ, но я дам его, чтобы рассмотреть некоторые аспекты, не освещенные в предыдущих (хороших) ответах и ​​явно упомянутые в комментарии ОП:

Я спрашиваю, почему такая топологическая величина, как «узловатость вихревых линий в потоке» или «намотка калибровочных функций» полностью определяется поверхностным интегралом, т.е. полностью закодирована в границе системы

В этом случае топологические инварианты, о которых вы говорите, относятся к гомотопическим классам . В частности, в случае калибровочных теорий мы ищем решения с конечной энергией (или напряжением в случае вихревой линии), и это накладывает некоторые ограничения на асимптотические поля. Каждый (неотрицательный) член плотности гамильтониана ЧАС должно исчезать достаточно быстро по мере приближения полей к пространственной бесконечности. В частности, потенциал В должен асимптотически обращаться в нуль. Это означает, что скалярное поле принадлежит вакуумному многообразию, когда р → ∞ . Это асимптотическое поле обеспечивает отображение из пространственной бесконечности (которая зависит от пространственной размерности модели) в вакуумное многообразие, а различные конфигурации (разные отображения) классифицируются в эквивалентные классы в соответствии с гомотопическими группами. Карты, принадлежащие разным классам, не могут непрерывно деформироваться друг в друга, поэтому нетривиальные карты (например, нетривиальное число витков) называются топологически устойчивыми или защищенными. Как видите, топологические инварианты (а именно гомотопические классы) в этих моделях закодированы в асимптотических полях или на границе системы.

спасибо за Ваш ответ! Однако именно то, что вы указываете, меня смущает. Намотка поля не происходит на пространственной бесконечности. Все конфигурации калибровочных полей и все интересующие нас калибровочные преобразования тривиальны на пространственной бесконечности. Намотка происходит в объеме, а не на границе. Подавляя измерение времени и ограничиваясь одним пространственным измерением, я думаю, что именно так калибровочное преобразование с номером обмотки 1 для U ( 1 ) выглядит так: i.stack.imgur.com/mshyZ.png . Датчик trafo с обмоткой 0 будет тем, у которого все стрелки указывают вверх и т. д.
(Рисунок взят из «Геометрии физики» Франкеля, стр. 557). Когда мы ограничиваемся калибровочными преобразованиями, которые тривиальны на бесконечности, и конфигурациями полей, которые тривиальны на бесконечности, пространственная бесконечность — это просто точка, и поэтому мы можем компактизировать наши 3 пространственных измерения до С 3 . Таким образом, я не уверен, что вы имеете в виду под картами от «пространственной бесконечности» до вакуумного коллектора.
@JakobH Почему вы говорите, что намотка полей происходит в основном? Рассмотрим конкретный пример: (3+1) Янга-Миллса-Хиггса. Тогда намотка происходит на бесконечность, а не на навал. Обратите внимание, что под бесконечностью я подразумеваю «достаточно далеко от ядра». Число витков космической струны отсчитывается вдали от ее сердечника. То же самое для обмотки монополя. Дело в том, что если две асимптотические конфигурации (далекие от ядра) не могут непрерывно деформироваться друг в друга, то не может и поле для всего пространства.
@JakobH Что касается примера, который вы упомянули, то вы сопоставляете его с р к С 1 а потом вы стереографически проецируете р на С 1 − Н о р т час п о л е . Вы в конечном итоге с картой С 1 − Н о р т час п о л е → С 1 . Это звучит искусственно, если мы хотим говорить о количестве витков, поскольку его можно определить как количество раз, которое мы покрываем изображение. С 1 как мы обходим однажды в домене С 1 . В любом случае тот факт, что это зависит от объема, очень специфичен для этого одномерного примера.
@JakobH В примере с вихрями или монополями калибровочное преобразование вовсе не тривиально на бесконечности. На самом деле (как обсуждалось в ответе) асимптотическое скалярное поле принадлежит вакуумному многообразию, и мы получаем его нетривиальным калибровочным преобразованием (большим калибровочным преобразованием) в произвольную точку ф 0 . Например, для монополя 'т Хофта-Полякова явное преобразование имеет вид грамм ( θ , ф ) знак равно опыт ⁡ ( − я н ф Т 3 ) опыт ⁡ ( − я θ Т 2 ) опыт ⁡ ( я н ф Т 3 ) куда Т я образует с ты ( 2 ) алгебра...
@JakobH ... Это преобразование вращает вакуум ф 0 знак равно ( 0 , 0 , 1 ) к конфигурации, не гомотопной вакууму. В частности, если н знак равно 1 это дает асимптотическую конфигурацию ежа во внутреннем пространстве алгебры с ты ( 2 ) , который топологически защищен от деформации в вакууме.
Пример, который я упомянул вместе с моими утверждениями о тривиальности калибровочных преобразований на бесконечности, мотивирован обычной трактовкой КХД-вакуума, инстантонов и т. д. Там всегда рассматриваются только калибровочные преобразования, тривиальные на бесконечности, а пространственные измерения компактифицируются до С 3 . Теперь я вижу, что приведенные вами примеры относятся к топологическим дефектам, а не к солитонам или вакууму. Если я правильно помню, идея обратить внимание на эти дефекты состоит в том, чтобы представить себе большую сферу, окружающую монополь.
А U ( 1 ) монополь делает свое присутствие ощутимым, потому что пучок больше не является тривиальным, а вместо этого задается С 3 над С 2 . В этом случае я согласен с тем, что топологическое свойство действительно полностью закодировано на границе. Спасибо!
Почему топологические свойства описываются поверхностными терминами?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v