Теорема об индексе и УФ- и ИК-грани киральной аномалии

Теорема индекса в теории с фермионами и калибровочными полями подразумевает связь между индексом$n_{+}-n_{-}$оператора Дирака и интеграла$\nu$над ЭМ полем черный характерный класс:

$$\tag 1 n_{+} - n_{-} = \nu$$ Давайте сосредоточимся на 4D. Теорема об индексе получается путем вычисления аномального якобиана $$J[\alpha] = \text{exp}\left[-2i\alpha \sum_{n = 1}^{N = \infty}\int d^{4}x_{E}\psi^{\dagger}_{n}\gamma_{5}\psi_{n}\right]$$ Здесь $n$обозначает номер собственной функции оператора Дирака $$D_{I}\gamma_{I}, \quad D_{I} \equiv i\partial_{I} - A_{I}$$

С одной стороны, это плохо определенная величина,

$$J[\alpha] \simeq \text{exp}\left[i\alpha \lim_{x \to y}\text{Tr}(\gamma_{5})\delta (x - y)\right],$$ поэтому требуется УФ-регуляризация. Явный вид этой регуляризации фиксируется требованиями калибровочной и «евклидовой» инвариантности, что приводит к введению функции $f\left( \left(\frac{D_{I}\gamma_{I}}{M}\right)^{2}\right)$, с $M$являющийся параметром регуляризации. С другой стороны, используя регуляризацию, нетрудно показать, что показатель степени равен $-2i\alpha (n_{+}-n_{-})$. Поскольку это число определяет разность нулевых мод, оно зависит только от ИК свойства теории. Более того, $\nu$ также определяется поведением калибровочных полей на бесконечностях, являющихся ИК определенным числом. 

Из-за этой загадки я хочу спросить: обеспечивает ли теорема об индексе связь между ИК (нулевые моды, крупномасштабная топология) и УФ (требуется регуляризация) природой киральной аномалии?

Именно , мне известна "спектрально-поточная" интерпретация киральной аномалии, согласно которой аномалия есть коллективное движение кирального заряда из УФ-мира в ИК-мир. Обеспечивает ли теорема об индексе такую ​​интерпретацию?