Два определения топологических терминов в теории поля

Я видел два различных определения «топологических» терминов в контексте квантовой теории поля.

  1. Топологические термины не зависят от метрики г мю ν . Это имеет смысл, поскольку топология — это «геометрия минус длина и угол». (Одним из следствий этого является то, что они не дают вклада в тензор энергии-импульса.)
  2. Топологические термины являются полными производными, т.е. граничными терминами. (Одним из следствий этого является то, что они не вносят вклад на классическом уровне.)

Подразумевает ли первое утверждение второе? Я не вижу ясной причины для этого, но я видел только примеры, где оба варианта верны.

Любой член полной производной при интегрировании дает нам граничный член, который зависит только от метрики границы, а не от метрики объемного пространства-времени. В этом смысле член полной производной является топологическим, поскольку он не зависит от локальной структуры объемного пространства-времени.
Теория Черна-Саймонса является контрпримером. Он не зависит от метрики, поэтому относится к первому классу, но не является полной производной, следовательно, не принадлежит ко второму классу. Таким образом, первый класс не подразумевает второй класс.

Ответы (1)

Всегда требуется, чтобы топологические термы всех типов не зависели от метрики, поэтому их интегралы будут соответствовать топологическим инвариантам, которые служат топологическими зарядами в квантовой теории поля.

Однако важно различать два типа топологических термов, упомянутых в вопросе, поскольку они приводят к разным физическим следствиям. Пожалуйста, ознакомьтесь с лекциями Делиня-Фрида по классической теории поля.

Первый тип ( θ -terms) возникает, когда на целевом пространстве принимается замкнутая форма ранга, равного размерности базового пространства М :

ю ( у ) "=" ю α 1 … α н г у α 1 ∧ … г у α н

верните его в базовое пространство и интегрируйте:

∫ М ю α 1 … α н ∂ у α 1 ∂ Икс β 1 … ∂ у α н ∂ Икс β н г Икс β 1 ∧ … г Икс β н

Интеграция этой формы не требует метрики.

Важный подкласс этого типа терминов ю является представителем характеристического класса (см. раздел 7.22 Нэша и Сена ) расслоения над целевым пространством. В этом случае топологический член может быть добавлен к лагранжиану на четномерном базовом пространстве. θ -термы являются топологическими зарядами инстантонов, и их включение в лагранжиан эквивалентно выбору θ -вакуум. Прототипами этого типа топологических термов являются θ - срок ОТК и номер обмотки в С п 1 модель.

Второй тип топологических членов состоит из обратных образов к базовому многообразию классов вторичных характеристик (см. Нэш , стр. 223). Эти классы живут в странных измерениях. Они закрыты только тогда, когда соединение манометра является чистым манометром. В этом случае они состоят из голономий (фаз Берри) калибровочных связей и их более высоких версий в более высоких измерениях.

В отличие от характеристических классов, которые классифицируют расслоения над многообразиями, вторичные характеристические классы классифицируют плоские расслоения. Прототипами топологических термов, связанных с классами вторичных характеристик, являются термин электромагнитного взаимодействия заряженной частицы (в 1D) и член Черна-Саймонса (в 3D). Случай чистой калибровки соответствует потенциалу Ааронова-Бома в 1D и члену Весса-Зумино-Виттена в 3D.

Два определения топологических терминов в теории поля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v