Является ли волновая функция частиц внутри газа расплывчатой ​​или локализованной?

Предварительные сведения: как мы определяем «локализованный»?

Для одной частицы или для нескольких незапутанных частиц по выражениям для волновых функций легко сказать, являются ли они локализованными или делокализованными. Например, вы можете сказать, что если волновая функция спадает экспоненциально или быстрее для больших$x$, то есть с формой вроде$\psi(x)\sim e^{-x/\xi}$с некоторым характерным масштабом длины$\xi$, то она локализована, а нечто вроде плоской волны (которую можно считать находящейся в$\xi \rightarrow \infty$предел) делокализована.

Для взаимодействующих частиц квантовое состояние многих тел обычно эволюционирует в нечто, запутанное между частицами. Тогда для отдельной частицы больше не существует волновой функции, и вопрос локализации уже не так однозначен. Например, двухчастичное состояние$\psi(x_1,x_2)\sim e^{-(x_1-x_2)^2}$локализованный или делокализованный?

Стандартный способ обобщить эту идею локализации/распространения на системы многих тел — использовать концепцию энтропии запутанности (1) и спросить, запутана ли конкретная область с другой удаленной областью системы. Для одномерной системы энтропия запутанности равна:

$S(\rho_A)=-\text{Tr}[\rho_A \log \rho_A]$, с$\rho_A$матрица приведенной плотности для этой системы:

Здесь мы рассматриваем регион из$-x_0$к$x_0$. Если$S$экспоненциально мала, то система локализована, а если нет, то расширена. Обратите внимание, что мы перешли от разговора о частицах к разговору об областях. Это более естественно, когда речь идет о локализации, но при однородной плотности частиц в конкретный момент времени локализация одного влечет за собой другое.

Смысл «локализованного», который мы теперь имеем, состоит в том, что для локализованной системы измерение в одной точке не возмущает квантовое состояние в удаленной точке. Используя этот стандарт, если вы выполните приведенные выше вычисления для состояния, подобного приведенному выше состоянию двух частиц, или состоянию плоской волны с одной частицей, вы обнаружите, что они имеют ненулевую энтропию запутанности и являются расширенными. Однако такое государство, как$\psi(x_1,x_2)\sim e^{-(x_1/\xi)^2}e^{-((x_2-2x_0)/\xi)^2}$будет локализован, пока$x_0 \gg \xi$.

Термализация собственного состояния

Хорошо, с этими идеями я могу теперь сформулировать ответ просто: для квантовой системы частиц в ящике, которые взаимодействуют с отталкиванием твердой оболочки, в сильно возбужденном состоянии и разбавленном пределе, и в равновесии, энтропия запутанности равна пропорционально объему системы.

Грубо говоря, это означает, что каждая точка в ящике одинаково запутана со всеми остальными точками. В этом смысле система расширена. Измерение квантового состояния в одной точке также повлияет на квантовое состояние в любой другой точке.

Доказательство этого в основном принадлежит Среднецки в основополагающей статье о квантовой термализации, которую я рекомендую вам взглянуть на (2) . Для приведенной выше системы Среднецкий показывает, что собственные состояния системы дают поведение частиц, которое согласуется со статистической механикой Максвелла-Больцмана, и, кроме того, что системы, которые начинаются далеко от равновесия (например, случай, когда вы упоминаете, когда все начинается локализовано) также будут развиваться к состоянию равновесия, которое подчиняется этим предсказаниям. Кроме того, в последующей работе подчеркивалось, что любая система, которая обладает этим свойством самоуравновешивания, известным как термализация собственного состояния , также обязательно будет демонстрировать объемное масштабирование энтропии запутанности (см., например, (3) ).

декогеренция

Все, что я говорил до сих пор, относилось к чистому квантовому состоянию, но люди часто говорят о такого рода системах с точки зрения декогеренции. Какая связь?

Что ж, декогеренция происходит, когда интересующая нас система переплетается со многими другими недоступными системами, и именно это и происходит здесь (4, 5) . Поскольку любая часть системы переплетена со всеми остальными, для системы даже среднего размера было бы практически невозможно наблюдать когерентность между различными частями. Это означает, что система будет функционально неотличима от системы без когерентности или просто от классического статистического ансамбля. Это чудо запутанности — если у вас ее достаточно, все становится проще, а не сложнее. Вот почему измерения, неизменно создающие некое сложное запутанное состояние между системой и аппаратом, тем не менее могут привести к получению знаний.

Вывод

Есть два действительных способа описать состояние ящика сталкивающихся частиц через долгое время:

1. Это сложное запутанное состояние многих тел, в котором каждая часть в равной степени запутана со всеми другими частями, но таким образом, чтобы воспроизвести стандартные статистические результаты (такие как распределение Максвелла-Больцмана) для измерения одной частицы.
2. Из-за высокой степени запутанности для всех практических целей частицы можно также рассматривать как декогерентизированные классические частицы, и в этом случае они, конечно, имеют четко определенное положение и импульс.

Ни одно из этих утверждений не является неверным, и каждое из них может быть полезным в правильном контексте.

Это действительно зависит от граничных условий. Для граничных условий, таких как трехмерный ящик с отражающими стенками, начальное квантовое состояние$\Psi$останется квантовым состоянием с уникальной волновой функцией, зависящей от переменных каждой частицы:

В обоих случаях положения частиц предсказываются статистически, но в последнем случае явления интерференции может не быть (или оно будет менее выражено).

Рассмотрим ваш случай эксперимента с двумя щелями без и с измерениями положения частиц, измерениями перед экраном.

Чтобы точно решить вашу задачу, вам нужно решить уравнение Шрёдингера

куда$\Psi (\vec r_1 \dots \vec r_N,t)$волновая функция$N$частицы и

куда$u_{ij}$есть некоторый парный потенциал и$V_{\text{ext}}$потенциал ящика. Конечно, вам также нужно начальное условие

Первое, что вы должны заметить, это то, что неуместно говорить о «волновой функции каждой частицы», потому что вы должны рассматривать полную волновую функцию всего тела.$N$частицы ($\Psi$). Если частицы неразличимы, эта функция должна обладать некоторой симметрией, в зависимости от того, какие частицы вы рассматриваете (бозоны или фермионы).

Аналитически или численно решить такую ​​задачу действительно сложно. Хорошей отправной точкой для получения качественного представления было бы решить соответствующие уравнения для двух частиц и посмотреть, что получится.

Это было сделано авторами этой статьи численно с использованием гауссового и квадратичного потенциалов с различимыми и неразличимыми частицами. в последнем случае рассматривались симметризованные (бозонные) и антисимметричные (фермионные) волновые функции:

Волновая функция при$t=0$считается произведением двух гауссовских волновых пакетов:

Где

а также$k_2 = - k_1$.

На следующем графике вы можете, например, увидеть результат столкновения двух различимых частиц с одинаковой массой.$m$взаимодействующие через квадратный потенциал (кривые — плотности вероятности, полученные по волновым функциям):

Цифры в верхнем левом углу обозначают время (в единицах$100 \times$временной шаг), а края кадров соответствуют стенкам ящика.

Видно, что действительно имеет место «размазывание» волновых пакетов (точнее, их квадрата модуля, т. е. плотности вероятности) после столкновения (ср. 1 и 120).

Цитата из статьи:

На рис. 5 показаны девять кадров из фильма отталкивающего m–m-столкновения, в котором средняя кинетическая энергия равна четверти высоты барьера. Видно, что начальные пакеты замедляются по мере приближения друг к другу, их взаимное отталкивание сужает и поднимает пакеты до момента времени (50), когда они начинают отскакивать назад. Видно, что волновые пакеты в еще более поздние моменты времени сохраняют свою форму с постепенным расширением, пока они не столкнутся со стенками и не разобьются.

В контексте физики твердого тела тесно связанный вопрос был областью активных исследований в последние несколько лет. Большинство взаимодействующих систем действительно термализуются (и, таким образом, делокализуются) в течение длительного времени. Однако некоторые системы, чей беспорядок намного сильнее, чем их взаимодействия, испытывают «локализацию многих тел», в которой отдельные частицы остаются «застрявшими» на неопределенный срок. Это имеет много макроскопических последствий, таких как отсутствие электрической проводимости (поскольку электроны не могут свободно двигаться) и энтропия запутанности, которая масштабируется только как закон площади, а не закон объема для каждого собственного состояния (а не только основного состояния). На эту тему слишком много статей, чтобы их перечислять, но исходной статьей, с которой все началось, является Basko, Aleiner, and Altschuler (2006).

Плотный газ с относительно сильными взаимодействиями (по газовым стандартам) можно грубо рассматривать как очень сильно неупорядоченное, слабо взаимодействующее твердое тело, поэтому я подозреваю, что, как и в случае твердого тела, ваш мысленный эксперимент может привести либо к делокализованному, либо к локализованное состояние, зависящее от деталей плотности газа и силы его взаимодействий.

Квантовые эффекты возникают, если концентрация частиц удовлетворяет

Квантовая природа частицы проявляется в том, что бозоны подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна, а фермионы подчиняются статистике Ферми–Дирака. И статистика Ферми-Дирака, и статистика Бозе-Эйнштейна хорошо аппроксимируются классической статистикой Максвелла-Больцмана при высокой температуре и низкой концентрации, где квантовыми эффектами можно пренебречь.

Я полагаю, вы имеете в виду, что газ содержится в волшебной коробке. В противном случае стены становятся частью системы, обмениваясь импульсом/энергией с «частицами». У меня нет ответа для вас; Я не знаю. Что я знаю точно, так это то, что ни одно из столкновений частиц нельзя охарактеризовать иначе, как с помощью распределения вероятностей. Здравый смысл требует, чтобы при условии, что вы знаете примерное положение и импульс частицы в момент времени t = 0, а также при условии, что распределение других частиц в ящике является случайным и все они находятся в тепловом равновесии со стенками, положение или импульс будут больше и меньше. более равномерно распределяется по объему (фазовому пространству) в моменты времени t>0. Итак, вы говорите мне, вы используете частицу в качестве источника координат упомянутого волнового уравнения, или система отсчета фиксируется коробкой? Насколько я вижу, ваш вопрос бесполезен и не имеет никакой прогностической ценности. Мне кажется, ваш вопрос касается состояния волнового уравнения между наблюдениями. Что (может быть, потому, что я поклонник Копенгагенской интерпретации) кажется глубоко ошибочным. Вы, вероятно, можете локализовать частицу один раз (t = 0), но что потом? Как вы наблюдаете это во второй раз? Ясно, что второе наблюдение не будет в эквивалентно локализованном месте. (за исключением некоторых ловушек). один раз (t=0), а потом что? Как вы наблюдаете это во второй раз? Ясно, что второе наблюдение не будет в эквивалентно локализованном месте. (за исключением некоторых ловушек). один раз (t=0), а потом что? Как вы наблюдаете это во второй раз? Ясно, что второе наблюдение не будет в эквивалентно локализованном месте. (за исключением некоторых ловушек).

Поведение молекул в вашем мысленном эксперименте можно исследовать с помощью декогеренции. Но я не верю, что вы можете получить окончательный ответ, пока кто-нибудь не проведет полномасштабную симуляцию (или пока ответ какого-нибудь эксперта не сможет дать формальное доказательство того, что происходит на самом деле, но я не умею это делать). Эффекты декогеренции можно аргументировать эвристическим путем, но при таком подходе ответ, который я нашел, неоднозначен.

С одной стороны, отдельная молекула не изолирована, она взаимодействует с макроскопической средой (газом, электромагнитным излучением, стенками). В большинстве случаев эта среда будет действовать, уменьшая запутанное состояние отдельной молекулы и заставляя ее, по-видимому, коллапсировать в предпочтительную основу. Предпочтительной основой обычно является позиция, но это не всегда так и зависит от деталей настройки.

Если предпочтительным базисом является позиционный базис, то волновая функция отдельных молекул не будет распространяться слишком долго, ее взаимодействие с остальной средой, в которой она находится, сделает вероятность «схлопывания» до меньшего пакета (как упоминалось выше). П. Шор в комментарии, оно не может быть чистым собственным состоянием позиционного оператора). Но если предпочтительный базис другой, например базис импульса, то конечным результатом будет в значительной степени делокализованный волновой пакет. Этот второй вариант, по-видимому, больше согласуется с тем фактом, что, достигнув термодинамического равновесия, молекулы газа удовлетворяют максвелловскому равновесию Больцмана. статистика.