Всегда ли основная энергия взаимодействующих фермионов выше энергии бозонов?

Моя интуиция подсказывает мне, что энергия основного состояния бозонов всегда должна быть ниже энергии основного состояния фермионов — независимо от того, какие взаимодействия или другие внешние свойства мы выбрали.

Я думаю, ваша интуиция обычно верна; но можно определить системы, в которых фермионы в основном состоянии будут иметь меньшую энергию, чем бозоны в основном состоянии. Во-первых, заметка о том, почему фермионы имеют тенденцию иметь более высокие энергии, чем заметка о том, как можно сделать так, чтобы бозоны имели больше энергии, чем фермионы.

(1) Предположим, что взаимодействия частиц нет.

В предположении, что гамильтониан для бозона и фермиона идентичен, энергии для одиночных частиц (т.е.$N=1$) также будет идентичным. Это следует из того факта, что волновое уравнение Шрёдингера одинаково применимо и к бозону, и к фермиону. В частности, при этом предположении энергии основного состояния идентичны, назовем эту энергию$E_1$.

Простейшее предположение о взаимодействии частиц состоит в том, что его нет. В этом случае энергия основного состояния для бозона проста, это просто$N\; E_1$так как все бозоны находятся в одном и том же состоянии.

Основное состояние фермиона будет иметь более высокую энергию (из-за принципа запрета Паули), за исключением случая, когда основное состояние$N$-кратно вырождены, и тогда бозоны и фермионы будут иметь одинаковую энергию.

Для некоторых людей вышеизложенное может быть очевидным само по себе. Для других, возможно, они захотят немного меньше размахивания руками и немного больше математики. Итак, пусть$N$собственные состояния с наименьшей энергией будут$\psi_n(x)$для$n=1,2,3,...,N$без вырождения, так что$H\psi_n = E_n\psi_n$. В случае бозона в основном состоянии все частицы находятся в этом состоянии, поэтому волновая функция представляет собой симметризацию$\psi(x_1,x_2,...,x_n) = \psi_1(x_1)\psi_1(x_2)...\psi_1(x_n)$. Но как бы ни переставлялись позиции, энергия этого состояния$E_1+E_1+...+E_1 = N\;E_1$. Точно так же энергия для любой перестановки основного состояния Ферми$\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)...\psi_n(x_n)$является$E_1+E_2+...E_N > N\;E_1$.

---

(1) Предположим произвольное взаимодействие частиц.

При произвольном взаимодействии частиц легко создать ситуацию, когда бозоны имеют ту же энергию основного состояния, что и фермионы. Можно просто добавить энергию к бозе-волновым функциям, не добавляя энергию к ферми-состояниям. Сделаем это явно для двухчастичной волновой функции. Для этого нам нужно определить волновые функции для$\psi_1 \times \psi_2$, то есть нам нужно определить тензорное произведение. Воспользуемся простейшими возможными волновыми функциями, спинорами, и определим комбинированную волновую функцию$\psi_1\otimes \psi_2$к:

$$|1\rangle=\left(\begin{array}{c}a_1\\b_1\end{array}\right)$$
$$|2\rangle=\left(\begin{array}{c}a_2\\b_2\end{array}\right)$$
$$|1\rangle\otimes |2\rangle=\left(\begin{array}{c}a_1a_2\\b_1a_2\\a_1b_2\\b_1b_2\end{array}\right).$$
Теперь (игнорируя несущественный фактор $\sqrt{1/2}$отсюда и далее) ферми-симметризация выглядит так:
$$|1\rangle\otimes|2\rangle-|2\rangle\otimes|1\rangle=\left(\begin{array}{c}a_1a_2-a_2a_1\\b_1a_2-b_2a_1\\a_1b_2-a_2b_1\\b_1b_2-b_2b_1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}0\\b_1a_2-b_2a_1\\a_1b_2-a_2b_1\\0\end{array}\right),$$
а бозе-симметризация выглядит так: $$|1\rangle\otimes|2\rangle+|2\rangle\otimes|1\rangle=\left(\begin{array}{c}a_1a_2+a_2a_1\\b_1a_2+b_2a_1\\a_1b_2+a_2b_1\\b_1b_2+b_2b_1\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}2a_1a_2\\b_1a_2+b_2a_1\\a_1b_2+a_2b_1\\2b_1b_2\end{array}\right).$$
Таким образом, чтобы добавить энергию только к случаю бозе-симметрии, все, что нам нужно сделать, это включить потенциальный член, который выглядит следующим образом:
$$V = \left(\begin{array}{cccc}E&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&E\end{array}\right).$$

Обратите внимание, что приведенная выше матрица имеет собственные значения 0 и$E$, но$E$собственные значения доступны только для бозона, фермионы автоматически имеют энергию 0 для этого потенциала. Чтобы бозе-состояние избегало добавления энергии, оно должно иметь$a_1a_2=b_1b_2=0$. Есть два способа сделать это; либо есть$a_1=0$или$a_2=0$. Поскольку вы не можете иметь оба$a_1$и$a_2$ноль или и то, и другое$b_1$и$b_2$нуля, небольшая алгебра покажет, что существует только одно бозе-состояние, которое избегает$E$:

$$\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\\0\end{array}\right)$$
Это бозе-симметризация (1,0) x (0,1). С другой стороны, ферми-симметризация этих двух состояний: $$\left(\begin{array}{c}0\\+1\\-1\\0\end{array}\right).$$
Таким образом, чтобы добавить энергию к бозе-симметризации, но не к ферми-симметризации, используйте потенциал:
$$V = \left(\begin{array}{cccc}E&0&0&0\\0&E/2&E/2&0\\0&E/2&E/2&0\\0&0&0&E\end{array}\right).$$ Вышеприведенное имеет три собственных вектора с собственным значением $E$и только один собственный вектор с собственным значением 0; это собственное значение доступно только фермионам.

Вопрос имеет смысл в нерелятивистской постановке, когда на волновую функцию можно наложить либо симметрию, либо антисимметрию.

Симметричное основное состояние всегда имеет меньшую энергию, так как оно также является основным состоянием несимметричной системы. (Доказательство: симметризация произвольного основного состояния снова является основным состоянием.)