Почему уравнения Максвелла содержат скалярное, векторное, псевдовекторное и псевдоскалярное уравнение?

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме имеют вид

{ ∇ → ⋅ Е → знак равно   р / ϵ 0 , ∇ → × Б →   знак равно   мю 0 Дж → + ϵ 0 мю 0 ∂ Е → ∂ т , ∇ → × Е →   знак равно − ∂ Б → ∂ т , ∇ → ⋅ Б →   знак равно   0 ,

которые являются, соответственно, скалярными, векторными, псевдовекторными и псевдоскалярными уравнениями. Является ли это простым совпадением или есть более глубокая причина иметь по одному уравнению каждого типа?

Если не ошибаюсь, эти объекты соответствуют (или, по крайней мере, могут быть поставлены в соответствие) рангам дифференциальных форм на трехмерном многообразии, так что я предполагаю, что здесь может быть какая-то связь с формулировкой уравнений Максвелла с точки зрения дифференциальных форм . Если это так, то есть ли основная физическая причина того, что наше выражение уравнений получается с одним уравнением каждого ранга, или это чисто математическая вещь?

И последнее замечание: я также могу ошибаться относительно ранга каждого уравнения. Я перехожу к содержимому правой стороны. (например, «плотность магнитного заряда» будет псевдоскалярной.)

Но не р временная составляющая четвертого тока, а не скаляр?
@ twistor59: Да, но по отношению к 3D-вращениям / отражениям в той же системе отсчета это скаляр.
@VladimirKalitvianski Ага, понятно. Вы можете объединить все уравнения в одно, используя алгебру Клиффорда CL(1,3). Интересно, можно ли получить желаемый результат, сократив это каким-то образом до CL(3)?
Первое уравнение (дивергенция E) представляет собой временную составляющую векторного уравнения пространства-времени, а в третьем уравнении (ротор E) базисный вектор времени вынесен за скобки.

Ответы (4)

В трехмерном пространстве можно интерпретировать 4-уравнение Максвелла как определяющее взаимосвязь между полями (вектор электрического поля и бивектор магнитного поля) и всеми четырьмя типами возможных источников.

Но это скорее иллюзорно. В теории относительности уравнения выглядят совсем иначе:

∇ ⋅ Ф знак равно − мю 0 Дж ∇ ∧ Ф знак равно 0

куда Ф – бивектор электромагнитного поля. Векторная производная ∇ может повысить или понизить оценку объекта только на 1. Поскольку Ф имеет 2-й класс, уравнение дивергенции описывает его связь с исходным членом 1-го класса (векторный четырехтоковый Дж ). Уравнение завихрения описывает его отношение к исходному члену степени 3 (тривектор) (которого нет).

Причина, по которой 4 уравнения Максвелла в трехмерном пространстве получаются такими, как мы, заключается в том, что мы игнорируем времяподобный базисный вектор, который объединил бы скалярную плотность заряда с трехточным током как четырехтоком, а также объединил бы поле E. с полем B в качестве бивектора. Релятивистская формулировка, однако, значительно более разумна, так как правильно представляет ЭМ поле как один объект одной степени (бивектор), который может иметь только два источника (вектор или тривектор). Так уж получилось, что ЭМ поле не имеет тривекторного источника.

А если бы были тривекторные источники? Ну, как вы заметили, была бы плотность магнитного заряда (монополи), но также было бы немного больше . Должен существовать и магнитный ток, что добавит дополнительный член к ∇ × Е уравнение, чтобы полностью симметрировать вещи.

В многовекторной формулировке электромагнетизма, разработанной Дэвидом Хестенесом, есть только одно уравнение: ◻ Ф знак равно Дж .

F и J — объекты пространства-времени. F — «бивектор», антисимметричная сущность 2-го порядка, очень похожая на обычную. Ф мю ν в относительности. Глядя на его пространственную и временную части по отдельности, у него есть векторная часть, Е → (на самом деле пространственно-временной бивектор) и аксиальной векторной части Б → (действительно пространственно-пространственный бивектор). Дж представляет собой четырехвектор, который, конечно, в пространственно-временном представлении представляет собой скалярную плотность заряда плюс векторную плотность тока.

В многовекторной алгебре, когда мы умножаем два вектора, результатом является сумма внутреннего (точечного) и внешнего (перекрестного) произведений, создавая объект со скалярной частью и бивекторной частью. Вы получаете два уравнения в трехмерном пространстве + времени по цене одного многовекторного уравнения в пространстве-времени. ◻ дифференциальный оператор применяется таким образом, создавая дивергенцию и векторное произведение. Две части Ф и два способа применения ◻ приводят к четырем уравнениям, знакомым уравнениям Максвелла.

Это может показаться тарабарщиной для тех, кто не знаком с этим. Это форма алгебры Клиффорда. Книга: Алгебра пространства-времени Дэвида Хестенеса, Гордона и Брича, 1966. У него есть множество статей в научных журналах, которые у меня сейчас нет времени просматривать.

Я думаю, что к этому моменту даже Hestenes использует для этой цели del вместо box. Также необходимо соглашение о знаках (а также установка проницаемости на 1).
Его обозначения и способы описания вещей могли измениться с годами. Действительно, 1966 год был давно, но единственная ссылка, которую я физически имею под рукой на данный момент.

На это действительно есть причина. Во-первых, давайте переведем уравнения Максвелла на язык дифференциальных форм в евклидовом трехмерном пространстве ( не в пространстве-времени Минковского):

г Б знак равно 0 г Е + ∂ Б ∂ т знак равно 0 ⋆ г ⋆ Е знак равно р ⋆ г ⋆ Б − ∂ Е ∂ т знак равно Дж
с точки зрения электрической 1-формы Е и магнитная 2-форма Б .

Преимущество состоит в том, что внешняя алгебра градуирована, и мы можем объединить эти уравнения в одно, не мешая друг другу члены четырех уравнений.

Мы вольны выбирать префакторы (в частности, знаки) по своему усмотрению. Интересные комбинации, которые я мог бы придумать, это

( ⋆ г ⋆ − г − ∂ ∂ т ) ( Е + Б ) знак равно р + Дж
а также
( ⋆ г ⋆ − г + ∂ ∂ т ) ( Е − Б ) знак равно р − Дж
которые более или менее соответствуют объединенным уравнениям Максвелла в бивекторном и двумерном представлении. Первый может быть записан как
Д Ф знак равно Дж
в терминах геометрической алгебры, а последний как
( дельта + г ) Ф знак равно Дж
в терминах дифференциальных форм и кодифференциальных дельта , как на пространстве-времени Минковского, так и с определениями Ф а также Дж соответствует выбранному формализму.

По сути, мы имитируем релятивистские отношения поверх евклидовой геометрии. Например, инвариантная длина «4-вектора» р + Дж можно выразить во внешней алгебре как

( р + Дж ) ∧ ⋆ ( р − Дж ) знак равно ⋆ ( р 2 − ⟨ Дж , Дж ⟩ )

Есть ли какие-нибудь учебники, которые вы бы порекомендовали для изучения E&M с точки зрения дифференциальной формы?

Это не совсем совпадение. В ковариантной (релятивистской пространственно-временной) формулировке скалярное и векторное уравнения (уравнения с исходным членом) объединяются в одно пространственно-временное тензорное уравнение, как и псевдовекторные и псевдоскалярные уравнения (уравнения без источника).

Почему уравнения Максвелла содержат скалярное, векторное, псевдовекторное и псевдоскалярное уравнение?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v