Почему в 2D CFT используется формула Карди?

Этот вопрос был только что поднят на главную страницу, поэтому позвольте мне попытаться дать физический ответ, чтобы объяснить, почему модульная инвариантность специфична для двух измерений. Формула Карди говорит вам кое-что о плотности состояний КТП. Для подсчета состояний КТП в$d$габариты, вы естественно учитываете тепловую разделительную функцию$Z_{S^{d-1}}(\beta,R)$на сфере$S^{d-1}$, где сфера имеет радиус$R$. «Тепловой» означает, что мы работаем в евклидовом времени, компактифицированном на окружности длиной$\beta$. Гамильтониан в тепловом направлении является генератором дилатаций$D$, так

$$Z(\beta,R) = \sum_{\text{all states}} e^{-(\beta/R) \Delta}.$$ В пределе $\beta/R \ll 1$почти нет экспоненциального подавления, поэтому сумма чувствительна ко всем состояниям, и вы можете извлечь термодинамическую информацию о КТП. В обратном пределе $\beta/R \gg 1$лишь несколько терминов вносят значительный вклад.

В$d=2$происходит что-то особенное. "Космос"$S^{d-1}$это круг$S^1$длины$L = 2\pi R$. Таким образом, все многообразие представляет собой просто прямоугольник (или, если быть точным, тор, поскольку у нас есть периодические граничные условия). Ничего не произойдет, если вы поменяете$L$и$\beta$, так что мы получаем тождество

$$Z(\beta,L) = Z(L,\beta).$$ Поскольку теория инвариантна к масштабу, мы можем изменить масштаб и отбросить второй аргумент, что дает $$Z(\delta) = Z(\delta^{-1}), \quad \delta = \beta/L.$$ Это означает, что вы можете сказать что-то о трудном термодинамическом пределе $\delta \ll 1$от тривиального предела $\delta \gg 1$, и это приводит к тождествам, подобным формуле Карди. Решающим компонентом было то, что существует симметрия между пространственными $S^1$и термальный $S^1$в 2d, тогда как в более высоком d мы не можем поменять местами $S^{d-1}$и $S^1$.

Я упустил некоторые технические детали, особенно пренебрегая так называемой аномалией Вейля. Однако приведенная выше логика должна объяснить, что особенного в$d=2$.

Во-первых, следует отметить, что существуют формулы Карди и для других размерных КТП. См. https://arxiv.org/abs/1407.6061 Комаргодски и Ди Пьетро и эту статью Верлинде https://arxiv.org/abs/hep-th/0008140 .

Но давайте подойдем к вашему вопросу в 1+1-мерных теориях. Основной принцип состоит в том, что для унитарных конформных теорий поля сохраняющиеся заряды, обозначающие состояния (т. е. импульс и энергия), являются функциями$L_0$и$\bar{L}_0$генераторы и только. Таким образом, полная плотность состояний будет зависеть с точностью до ведущего порядка от$L_0$и$\bar{L}_0$, из принципов статистической механики. Затем окончательная форма статистической суммы может быть получена путем требования модульной инвариантности, т. е. количество состояний не должно зависеть от того, как вы параметризуете решетку, на которой живет теория.

Редактировать: я хочу добавить одну вещь (которая может не способствовать непосредственному ответу): формула Карди действительна для унитарных теорий в 2d CFT при большом центральном заряде. Обычно несложно получить ограничения на унитарные представления КТП в терминах конформного веса и центрального заряда, и в принципе можно найти унитарные теории поля при большом центральном заряде. В других измерениях ограничения на унитарность могут быть более строгими из-за наличия более чем одного центрального заряда, как в случае 4d КТМ. В этом принципиальное различие между формулами Карди в 2d и других измерениях, т.е. ограничения на унитарность. Если вы посмотрите, как можно было бы считать состояния, например, в 4d CFT, вы увидите, что они зависят от разницы между двумя центральными зарядами.$(c-a)$.