Начисленные наблюдения CFT и AdS/CFT

У меня есть простой вопрос относительно голографического словаря при сопоставлении операторов на стороне CFT с операторами в AdS.

Одна часть словаря состоит в том, что глобальная симметрия отображается на калибровочную симметрию в объеме. Поэтому, если у меня есть операторы, заряженные согласно глобальной симметрии в КТП, то я наивно предположил бы, что это операторы, заряженные согласно калибровочной симметрии в объеме. Однако, поскольку калибровочная симметрия является избыточным описанием, мы также должны ограничиться калибровочными синглетными операторами, по крайней мере, для определения наблюдаемых в корреляционных функциях. Кажется, здесь есть асимметрия, все заряженные операторы на стороне КТП являются хорошими наблюдаемыми, но только те, что в синглетном представлении, отображают калибровочные инвариантные операторы в объеме.

Дело в том, что все операторы в объеме также заряжены в соответствии с глобальной симметрией (при условии, что мы работаем в классическом пределе со стороны гравитации, поэтому он остается ненарушенным)?

Ответы (1)

Позвольте мне работать в обычном пределе, когда классическая теория гравитации отображается в сильно взаимодействующую конформную теорию поля (CFT) с некоторым цветоподобным параметром. Н принимается за очень большое. В этом пределе центральным утверждением соответствия является то, что производящая функция для корреляционных функций на стороне КТП задается гравитационным действием на оболочке, оцениваемым с определенными граничными условиями для полей. Эти граничные условия интерпретируются как источники для операторов на стороне двойной КТП. Другими словами, на стороне CFT я добавил что-то вроде ∫ ф 0 О к действию, где О мой оператор, для которого я хочу вычислить корреляционные функции и ф 0 является источником. На стороне гравитации, ф 0 тогда интерпретируется как граничное условие для некоторого гравитационного поля ф . Я использую это граничное условие для решения уравнений Эйнштейна, а затем использую это решение для оценки действия. Я получаю схематическое отношение вида

С г р а в ( ф 0 ) "=" Вт С Ф Т ( ф 0 )
где
дельта н Вт С Ф Т дельта ф 0 н "=" ⟨ О н ⟩ .

С этой точки зрения нет очевидных препятствий к рассмотрению оператора О который заряжен при некоторой глобальной симметрии на стороне КТП. Действительно, эта симметрия измеряется в объеме, и будет некоторое соответствующее поле. ф который также заряжен при этой калибровочной симметрии. Тем не менее, я могу решить уравнения Эйнштейна плюс Максвелла или Эйнштейна плюс уравнения Янга-Миллса в объеме с заданным граничным значением ф 0 . Даже если ф преобразований при калибровочной симметрии, мы обычно ограничиваемся локальными калибровочными преобразованиями, обращающимися в нуль на границе. Таким образом ф 0 будет вполне определенной величиной.

Добавлено: после комментариев ниже представляется важным добавить следующее. В то время как калибровочные преобразования, которые спадают на границе, являются избыточными, калибровочные преобразования, которые не спадают на границе, не калибруются и не являются избыточными. Они образуют группу асимптотической симметрии теории гравитации. Они изменяют состояние КТП, а также (на классическом уровне) изменяют решение уравнений Эйнштейна. Существует соответствие между глобальной группой симметрии CFT и асимптотическими симметриями со стороны гравитации.

Одним из хорошо цитируемых примеров системы AdS/CFT с полем, которое трансформируется в соответствии с глобальной симметрией, является голографический сверхпроводник: http://arxiv.org/abs/0810.1563 .

Я не думаю, что я был ясен в вопросе. Проблема не в том, чтобы вычислить что-то в AdS/CFT, когда CFT имеет глобальную симметрию (типичный пример N=4 SYM имеет R-симметрию). Вопрос, который я задавал, касался толкования. В КТП с глобальной симметрией гильбертово пространство дает представление группы, а калибровочные симметрии соответствуют перенумерации состояний. Таким образом, одна из интерпретаций AdS/CFT состоит в том, что гильбертовы пространства теорий должны совпадать (см., например, pha.jhu.edu/~jaredk/AdSCFTCourseNotesPublic.pdf ).
Проблема в том, что гильбертово пространство на стороне КТП кажется намного больше. У нас есть любое представление группы, а в массе эта теория калибрована и мы наивно ограничиваемся синглетным сектором. Я думаю, что одно из решений этой проблемы состоит в том, что если бы у дуального балка был ограничивающий сектор калибровочной теории, у нас не было бы сохраняющихся токов для глобальной симметрии в балке (у них были бы некоторые аномальные размеры). С другой стороны, если есть сохраняющийся ток, он должен быть двойственным по отношению к свободной фазе в объеме.
Почему вы говорите, что гильбертово пространство должно быть намного больше? Мы должны ограничиться калибровочными преобразованиями, обращающимися в нуль на границе, где «живет» теория поля. «Большие» калибровочные преобразования, влияющие на граничные величины, порождают глобальную симметрию КТП и не являются избыточными, как «малые» калибровочные преобразования, исчезающие на границе.
Еще один комментарий: в своем вопросе вы сказали, что наивно полагаете, что заряженные операторы в КТП соответствуют заряженным операторам в гравитации. Я думаю, что это неправильно. Граничные значения гравитационных полей выступают в качестве источников для операторов в КТП.
1) В КТП все операторы, заряженные относительно глобальной симметрии, принадлежат гильбертовому пространству. Когда мы измеряем симметрию, мы проецируемся на синглетный сектор, уменьшая его размер. Это то, что происходит в объеме, поэтому наивно гильбертово пространство должно быть намного меньше. Я не уверен в актуальности калибровочных преобразований, если только вы не подразумеваете, что большие калибровочные преобразования не являются избыточными в массе. 2) Вы также заявили, что оператор, заряженный относительно глобальной симметрии, дуален оператору, преобразующемуся относительно калибровочной симметрии. Это также то, что я заявлял.
1) Большие калибровочные преобразования не являются избыточными в объеме. Если бы это было так, можно было бы обнаружить неприятные вещи, например, две КТМ с разным химическим потенциалом калибровочно эквивалентны. 2) Я утверждал, что граничное значение гравитационного поля является источником оператора в КТП. Я ничего не сказал о квантовых операторах со стороны гравитации. Если хотите, вы можете преобразовать классическое поле в квантовый оператор на стороне гравитации. Но даже в этом случае необходимо проводить четкое различие между граничным значением этого квантового оператора и его массовым поведением.
1) Я согласен с тем, что большие калибровочные преобразования не являются лишними. Они обозначают разный вакуум. 2) Да, вы говорили классически, и разные BC соответствуют разным CFT (т.е. моделям O(N)), но двойственность должна сохраняться на квантовом уровне, и вы можете использовать корреляционные функции CFT для изучения внутренней части AdS. Я не думаю, что это обсуждение уместно, хотя. Для совпадения гильбертовых пространств должно быть согласование глобальных симметрий (т.е. SU(4) R-симметрия в N=4 SYM и SO(6) для AdS5). Я думаю, что это обычно предполагается, и откуда мой вопрос.
Но если вы согласны с большими калибровочными преобразованиями, то, я думаю, вы также согласны с тем, что совпадают глобальные симметрии?
Я не вижу, что это следует. Калибровочная теория SU(2) в 3+1d имеет набор больших калибровочных преобразований, индексированных Z . Преобразования глобальной симметрии представляют собой постоянные сдвиги, связанные с различными вакуумами. Граничная теория имеет глобальную SU(2)-симметрию. Это разные группы симметрии.
Теперь я понимаю, что, возможно, использую «преобразование большой калибровки» нестандартным способом. В континуальном интеграле для теории гравитации (какой бы она ни была) я всегда понимал, что нужно зафиксировать граничные условия для калибровочного поля на границе AdS так, чтобы то, что я называю «большими калибровочными преобразованиями», было копией калибровочная группа, действующая на граничной теории. В контексте голографического сверхпроводника, например, калибровочное преобразование U(1), которое не спадает на границе, могло бы изменить фазу конденсата.
Здесь есть соответствующая тема: physicsforums.com/threads/…
Хорошо, чтобы переформулировать то, что вы говорите, асимптотические симметрии теории в пространстве AdS соответствуют глобальным, не калиброванным симметриям, которые будут соответствовать симметриям CFT. С этим я полностью согласен. Обычно большие калибровочные преобразования, по крайней мере для плоского пространства-времени, относятся к калибровочному полю, имеющему нетривиальное число витков на бесконечности.
Тогда я больше не понимаю ваш первоначальный вопрос. Для меня тот факт, что эти глобальные вовлеченные симметрии совпадают с симметриями CFT, является концом истории.
Нет, я думаю, что это может быть ответом на мой вопрос. Мое замешательство возникло из-за того, что я думал, что асимптотические симметрии AdS действуют только как симметрии граничной теории, а не как объем. Предостережение заключается в том, что бывают случаи, когда соответствие глобальной симметрии является геометрическим, например, при N=4 SYM.
Начисленные наблюдения CFT и AdS/CFT
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v