Почему в 12mv212mv2\frac 1 2 mv^2 есть 1212\frac 1 2?

Множитель 1/2 требуется из галилеевой инвариантности, чтобы энергия смешивалась с импульсом без множителя. Это понимали до теории относительности, но до теории относительности это было в значительной степени условно, поскольку вы могли смешать энергию с импульсом, используя некоторый коэффициент. Когда у вас есть относительность, 1/2 больше не является обязательным.

Начну с относительности. Формула кинетической энергии – это дополнительная энергия движущейся частицы.

$${m\over \sqrt{1-v^2}} = m + {mv^2\over 2} + \cdots$$

в единицах, где c=1. Половина получается из разложения геометрического квадратного корня, а форма квадратного корня в знаменателе однозначно и естественным образом фиксируется требованием, чтобы энергия и импульс укладывались вместе в четырехвектор. Это единственное естественное определение в теории относительности, и оно оправдывается геометрией.

В ньютоновской механике энергия и импульс преобразуются вместе после ускорения Галилея. Если у вас есть закрытая система с импульсами$p_i$которые в сумме дают ноль (центр масс), изменение кинетической энергии после форсажа, которое смещает$p_i\rightarrow p_i - m_i v$является

$$\sum_i {p_i^2\over 2m_i} \rightarrow \sum_i m_i~(v_i - v)^2 = \sum_i {p_i^2\over 2m_i} - \sum_i p_i \cdot v + \sum_i m_i {v^2\over 2}$$

Изменение состоит из двух частей,

$$(\sum_i p_i) \cdot v$$

Это смешивание энергии и импульса, и эта часть представляет собой общий импульс, умноженный на скорость, и она равна нулю, когда вы начинаете в системе отсчета CM. Другая часть:

$$(\sum_i m_i ) {v^2\over 2}$$

Эта часть равна произведению общей массы на половину квадрата скорости или полной кинетической энергии, добавленной к объекту в результате его ускорения. Вы видите, что получили правильный ответ: произведение общей массы на скорость центра масс, теперь, когда центр масс движется. Если объект уже двигался, нетривиально убедиться, что вы получите правильный ответ — новый квадрат скорости центра масс, умноженный на квадрат общей массы — для новой энергии.

Это требование, чтобы энергия была постоянной при ускорении Галилея, и есть то, что подразумевается под смешением импульса и энергии. Проще всего взять коэффициент 1/2, в конечном счете потому, что это естественный нерелятивистский предел относительности. Если бы вы не взяли коэффициент 1/2, у вас был бы коэффициент 2 в члене р-смешивания. На самом деле это свидетельство проницательности физиков 19-го века, что они приняли наиболее естественные условности до того, как была открыта теория относительности.

Половину нерелятивистской кинетической энергии можно проследить до теоремы о работе-энергии .$^1$.

Конечно, если кого-то интересует только решение задачи об упругом столкновении изолированной системы точечных частиц с использованием закона сохранения импульса и кинетической энергии, никакого вреда не причинит умножение уравнения сохранения энергии на коэффициент 2 в обеих частях уравнения.

--

$^1$Здесь мы предполагаем, что стандартные формулы для работы$W=\int {\bf F}\cdot d{\bf r}$, 2-й закон Ньютона${\bf F}=m{\bf a}$, ускорение${\bf a}=\dot{\bf v}$, скорость${\bf v}=\dot{\bf r}$и т. д. выполняются без нетрадиционных нормировочных множителей.

Причина в теореме о работе-энергии, которая гласит, что если сила приложена к объекту на расстоянии, то интеграл силы по расстоянию или работа, приложенная к объекту, должна равняться изменению кинетическая энергия, так как энергия, передаваемая посредством работы, должна сохраняться. Итак, для покоящегося объекта, если сила$F$применяется в одном измерении на расстоянии$x$, его изменение кинетической энергии определяется работой, совершенной над объектом:

$$E_k - 0 = \int_{0}^{x} {F \cdot dx}$$ (У нас есть изменение кинетической энергии, представленное $E_k$как конечная кинетическая энергия, и $0$как начальную кинетическую энергию.) Если мы манипулируем интегралом, используя $F = ma$, это становится $$E_k = \int_{0}^{x} {ma \cdot dx}$$ Мы можем умножить на $\frac{dt}{dt}$в интеграле, и становится $$E_k = \int_{0}^{x} {ma \hspace{2pt} dt \cdot \frac{dx}{dt}}$$ Поскольку мы знаем, что $v = \frac{dx}{dt}$, и что $a = \frac{dv}{dt}$, $a \hspace{2pt} dt$становится $dv$, а также $\frac{dx}{dt}$становится $v$. Это превращает интеграл в: $$E_k = \int_{0}^{v} {mv \cdot dv}$$ Теперь мы интегрируем из $0$к $v$потому что мы превратили интеграл в интеграл по положению в интеграл по скорости. Поскольку интегрирование линейной функции $kx$в отношении $x$дает $\frac{1}{2} kx^2$, выражение принимает вид: $$E_k = \frac{1}{2} mv^2$$

Таким образом, теорема о работе-энергии, а также манипулирование интегралом являются причиной$\frac{1}{2}$в$\frac{1}{2} mv^2$.

В дополнение к другим ответам, имейте в виду, что$E = \frac 1 2 m v^2$является квадратичной формой.

Квадратичные формы возникают всякий раз, когда вы интегрируете$f(x) = k\cdot x$функция.

Примеры:

$$E_{kin} = \int m v\; \mathrm d v = \tfrac 1 2 m v ^ 2 \\ A_\circ = \int \tau r \; \mathrm d r = \tfrac 1 2 \tau r^2 \quad \tau = 2\pi \\ E_{spring} = \int k x \;\mathrm d x = \tfrac 1 2 k x^2 \\ v = \int a t \;\mathrm d t = \tfrac 1 2 a t^2$$

В специальной теории относительности аддитивная группа скоростей — это не действительные числа, поэтому вы получаете другой результат этого интегрирования.

Кинетическая энергия ($\mathrm{KE}$) равно выполненной работе,$\mathrm{KE} = W$, а работа равна силе ($F$) применительно к телу, умноженное на расстояние ($d$) он путешествует, или$W = Fd$. С$F = ma$, первое уравнение дает$W = mad$.

Предположим, что ускорение равномерное, а начальная скорость равна нулю. Предположим, что существует график со скоростью$v$на$y$-ось и время ($t$) на$x$-ось. Кроме того, есть линия, проходящая через начало координат и имеющая наклон, равный ускорению тела. Путь, пройденный телом за заданный промежуток времени, равен площади под прямой, т. е.$d = vt/2$. Если мы заменим$d$в$W = mad$мы получаем$W = mavt/2$(обратите внимание, как появилась половинка). Уравнение становится$W = matv/2$но с тех пор$at = v$мы получаем

$$W = \mathrm{KE} = \frac{1}{2} mv^2.$$

См. приведенную ниже диаграмму, где уравнение линии (т. е. линейная функция) имеет наклон, равный ускорению тела. Вспомните форму уравнения с пересечением оси Y для прямой или$y = mx + b$, куда$m$представляет наклон и$b$представляет y-пересечение или начальную скорость. Обратите внимание также на форму области$d$является прямоугольным треугольником. Это означает,

$$v = at$$

Кинетическая энергия изолирует энергию, связанную непосредственно с векторным движением конкретного объекта, и исключает смещение импульса к другим объектам, которые обязательно должны существовать в противоположном направлении, чтобы удовлетворять третьему закону Ньютона.

Сумма всей кинетической энергии, созданной во всех объектах, равна количеству энергии, таким образом примененной, но поскольку любой отдельный объект (используемый очень свободно) может «владеть» только половиной энергии, связанной с его общим большим нейтральным импульсом. движение, то есть, следовательно, и все, что оно может передать, передав свой собственный импульс при столкновении.

Другие формы энергии улавливают полную энергию, необходимую для создания движения нейтральным по импульсу способом. Примечательно, что гравитационная потенциальная энергия включает в себя как движение, связанное с падением объекта на землю, так и гораздо меньшее, но все же равное импульсу движение земли, поднимающееся вверх, чтобы встретить объект. Таким образом, существование половинчатой ​​конвенции. Связанный: Гравитация и КЭ

По той же причине, по которой расстояние составляет половину ускорения, у меня есть свои способы ответить на этот вопрос, поскольку я не знаю исчисления. Тем не мение

$w = mda$, предполагая, что вы знаете расстояние и ускорение (на данный момент)

$d = \frac{1}{2}at^2$

$\frac{2d}{a}= t^2$

$\sqrt{\frac{2d}{a}}= t$

умножение времени t на ускорение a дает нам скорость

$v = \sqrt{\frac{2d}{a}}a$

$v = \frac{\sqrt{{2d}}}{\sqrt{a}} a$

$v = \sqrt{2d}\sqrt{a}$

$v = \sqrt{2da}$и da равно работе над массой, поэтому

$v = \sqrt{\frac{2w}{m}}$

$v^2 =\frac{2w}{m}$

$mv^2 =2w$

$w = \frac{1}{2}mv^2$

В классической физике:

$$\begin{align*} W&=\int_{\vec s_1}^{\vec s_2}\vec F\cdot d\vec s\\ &=\int_{t_1}^{t_2}m\frac{d\vec v}{dt}\cdot\vec v dt\\ &=m\int_{t_1}^{t_2}\frac12\frac{d}{dt}\left(\vec v\cdot\vec v\right)dt\\ &=\frac12m\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\left(||\vec v||^2\right)dt\\ &=\frac12m||\vec v(t_2)||^2-\frac12m||\vec v(t_1)||^2\\ \end{align*}$$ $$\frac{d}{dt}\left(\vec v\cdot\vec v\right)=\frac{d\vec v}{dt}\cdot\vec v+\vec v\cdot\frac{d\vec v}{dt}=2\frac{d\vec v}{dt}\cdot\vec v$$