Есть ли физический смысл в неединственности принципа наименьшего действия?

Question

Есть ли физический смысл в неединственности принципа наименьшего действия?

Физика
пограничные условия
граничные условия
классическая механика
лагранжев формализм
вариационный принцип

Сидхарт Гошал

В классической механике мы часто определяем действие как количество

\int_{0}^{Т} [Т - В] д т

$\int_{0}^{T} \left[ T - V \right] dt$

Который во многих приложениях является некоторым вариантом

\int_{0}^{Т} [\frac{1}{2} м {({Икс}^{'})}^{2} - В (Икс)] д т .

$\int_{0}^{T} \left[ \frac{1}{2}m \left( x' \right)^2 - V(x) \right] dt.$

Обычным обоснованием принципа наименьшего действия является наблюдение, что если вы возьмете подынтегральное выражение выше и подставите его в уравнения Лагранжа Эйлера, вы получите закон Ньютона.

ИИ, если ты веришь

\frac{\partial л}{\partial Икс} - \frac{д}{д т} (\frac{\partial л}{\partial {Икс}^{'}}) + \frac{д^{2}}{д т^{2}} (\frac{\partial л}{\partial {Икс}^{″}}) - . . . "=" 0

$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial x'} \right) + \frac{d^2}{dt^2} \left(\frac{\partial L}{\partial x''} \right) - ... = 0$

С $L = \frac{1}{2}m \left( x' \right)^2 - V(x)$ ты найдешь

- \frac{д В}{д Икс} "=" м {Икс}^{″}

$- \frac{dV}{dx} = mx''$

(т.е. $F = ma$ ).

Итак, это старые новости, которые мы считаем достаточно хорошо понятыми, но затем я понял следующее, предположим, вместо этого мы попытаемся свести к минимуму это действие:

\int_{0}^{Т} [\frac{1}{2} м Икс {Икс}^{″} + В (Икс)] д т

$\int_{0}^{T} \left[ \frac{1}{2}mxx'' + V(x) \right] dt$

IE $L = \frac{1}{2}mxx'' + V(x)$ . Если мы подставим это в уравнения Лагранжа Эйлера, мы ТАКЖЕ получим

- \frac{д В}{д Икс} "=" м {Икс}^{″}

$- \frac{dV}{dx} = mx''$

С помощью

\frac{\partial}{\partial Икс} [\frac{1}{2} м Икс {Икс}^{″} + В] + \frac{д^{2}}{д т^{2}} \frac{\partial}{\partial {Икс}^{″}} [\frac{1}{2} м Икс {Икс}^{″} + В] "=" 0 \to \frac{1}{2} м Икс {Икс}^{″} + \frac{д В}{д Икс} + \frac{1}{2} м Икс {Икс}^{″} "=" 0 \to м Икс {Икс}^{″} + \frac{д В}{д Икс} "=" 0 \to Ф "=" - \frac{д в}{д Икс}

$\frac{\partial }{\partial x}[\frac{1}{2}mxx'' + V] + \frac{d^2}{dt^2}\frac{\partial}{\partial x''}\left[ \frac{1}{2}mxx'' + V \right] = 0 \rightarrow \frac{1}{2}mxx'' + \frac{dV}{dx} + \frac{1}{2}mxx'' = 0 \rightarrow mxx'' + \frac{dV}{dx} = 0 \rightarrow F = -\frac{dv}{dx}$

Я нашел это очень любопытным, я признаю физическое значение $(mx'')*x$ как классическое выражение для работы (сила x расстояние). Но есть ли у этого второго лагранжиана какое-то более глубокое физическое значение, или это просто любопытная математическая странность/не полезный инструмент для решения задач? Можно ли использовать этот второй лагранжиан вместо первого в других контекстах (например, в интеграле по путям Фейнмана).

Так что кажется, что $\frac{1}{2}mxx'' - V$ является сохраняющейся величиной. (Я пришел к такому выводу после проверки только одного примера, связанного с ньютоновским гравитационным полем между двумя телами в двух местах, так что, возможно, это неверно.)

Джастин Т

Не уверен, что я следую за одной половиной в вашем новом выражении, я не понимаю, как вы можете получить -dv / dx = mx '' с ним и подключить его к уравнениям Эйлера-Лагранжа.

Филипе Мигель

вы можете получить первый лагранжиан из вашего второго лагранжиана с интегрированием по частям первого члена (до минус-множителя)

Сидхарт Гошал

@JustinTackett, я обновлю вопрос

Сидхарт Гошал

@Filipe Miguel: я понимаю, что вы имеете в виду. Я думаю, это просто другое название энергии [сдвинутое на некоторую константу], но я удивлен, что никогда не знал об этом, учитывая, что это тоже сохраняющаяся величина.

Филипе Мигель

@frogeyedpeas Я не уверен в вашем утверждении, что это законсервированное количество. Я имею в виду не лагранжиан и не последнее ваше утверждение

СРС

Откуда вы взяли третье уравнение? Это не стандартное уравнение Эйлера-Лагранжа en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Lagrange_equation#Statement @frogeyedpeas

Сидхарт Гошал

@SRS уравнение Эйлера-Лагранжа на самом деле изначально имеет форму третьего уравнения, когда вы впервые получаете его, но затем они опускают члены более высокого порядка, чтобы упростить задачу. Я приведу вывод в нижней части этого вопроса

Сидхарт Гошал

@SRS раздел обобщений на этой странице Википедии охватывает это

СРС

... но обобщения применимы к случаям, когда лагранжиан зависит от производных по времени от

x

$x$ выше первой производной. Верно? Но они редко встречаются в классической механике элементарных частиц. @frogeyedpeas

Сидхарт Гошал

Да, но в примере, который я привел здесь, у вас есть такая зависимость. Кроме того, это может показаться глупым, но выслушайте меня, мы можем сделать вид, что обобщение применимо ВСЕГДА, и наблюдать, если у нас просто нет более высоких производных, чем эти дополнительные члены, равные 0, оставляя нас со стандартной формой уравнения Эйлера-Лагранжа, т.е. никогда не противоречит стандартной форме, поэтому я безопасно использую ее как уравнение по умолчанию.

Ответы (3)

Есть ли физический смысл в неединственности принципа наименьшего действия?

Не уверен, что я следую за одной половиной в вашем новом выражении, я не понимаю, как вы можете получить -dv / dx = mx '' с ним и подключить его к уравнениям Эйлера-Лагранжа.
вы можете получить первый лагранжиан из вашего второго лагранжиана с интегрированием по частям первого члена (до минус-множителя)
@Filipe Miguel: я понимаю, что вы имеете в виду. Я думаю, это просто другое название энергии [сдвинутое на некоторую константу], но я удивлен, что никогда не знал об этом, учитывая, что это тоже сохраняющаяся величина.
@frogeyedpeas Я не уверен в вашем утверждении, что это законсервированное количество. Я имею в виду не лагранжиан и не последнее ваше утверждение
Откуда вы взяли третье уравнение? Это не стандартное уравнение Эйлера-Лагранжа en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Lagrange_equation#Statement @frogeyedpeas
@SRS уравнение Эйлера-Лагранжа на самом деле изначально имеет форму третьего уравнения, когда вы впервые получаете его, но затем они опускают члены более высокого порядка, чтобы упростить задачу. Я приведу вывод в нижней части этого вопроса
@SRS раздел обобщений на этой странице Википедии охватывает это
... но обобщения применимы к случаям, когда лагранжиан зависит от производных по времени от $x$ выше первой производной. Верно? Но они редко встречаются в классической механике элементарных частиц. @frogeyedpeas
Да, но в примере, который я привел здесь, у вас есть такая зависимость. Кроме того, это может показаться глупым, но выслушайте меня, мы можем сделать вид, что обобщение применимо ВСЕГДА, и наблюдать, если у нас просто нет более высоких производных, чем эти дополнительные члены, равные 0, оставляя нас со стандартной формой уравнения Эйлера-Лагранжа, т.е. никогда не противоречит стандартной форме, поэтому я безопасно использую ее как уравнение по умолчанию.

Qмеханик · Answer 1

Хорошо известно, что при заданном наборе ЭОМ действие $S$ не обязательно уникален, ср. например, этот пост Phys.SE. OP указывает, что уравнения Эйлера-Лагранжа (EL) не пострадают, если мы добавим граничный член, ср. например, этот пост Phys.SE. Однако следует заметить, что граничные условия (ГУ) [которые необходимо наложить, чтобы сделать вариационный принцип корректным] могут измениться!

1-й пример OP:

$\begin{matrix} (1a) & L_{1} = \frac{1}{2} m {\dot{q}}^{2} - V (q) . \end{matrix}$
Бесконечно малая вариация читается $\begin{matrix} (1б) & дельта С_{1} "=" \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т Е О М дельта д + {[м \dot{д} дельта д]}_{т "=" т_{я}}^{т "=" т_{ф}} . \end{matrix}$ $\delta S_1 ~=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt~ {\rm EOM}~\delta q + \left[m\dot{q}\delta q \right]^{t=t_f}_{t=t_i}. \tag{1b}$ Если мы сосредоточимся $^1$ на начальное условие (IC), мы должны наложить либо
- $\color{red}{\rm weak}$ ИС Дирихле: $q(t_i)=q_i$ ,
или
- ИС Ноймана: $\dot{q}(t_t)=0,$
чтобы исчез граничный член [что необходимо для вывода уравнения ЭЛ из вариационного принципа]. См. также, например, мой ответ Math.SE здесь .
Второй пример ОП:

$\begin{matrix} (2a) & L_{2} = - \frac{1}{2} m q \ddot{q} - V (q) = L_{1} - \frac{d^{2}}{d t^{2}} (\frac{m}{4} q^{2}) . \end{matrix}$
Бесконечно малая вариация читается $\begin{matrix} (2б) & дельта С_{2} "=" \int_{т_{я}}^{т_{ф}} д т Е О М дельта д + \frac{м}{2} {[\dot{д} дельта д - д дельта \dot{д}]}_{т "=" т_{я}}^{т "=" т_{ф}} . \end{matrix}$ $\delta S_2 ~=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt~ {\rm EOM}~\delta q + \frac{m}{2}\left[\dot{q}\delta q - q\delta \dot{q}\right]^{t=t_f}_{t=t_i}. \tag{2b}$ Мы должны наложить либо
- $\color{red}{\rm strong}$ ИС Дирихле: $q(t_i)=0$ ,
или
- ИС Ноймана: $\dot{q}(t_t)=0$ .
Других возможностей нет!

TL;DR: Урок состоит в том, что в зависимости от физической системы и физически релевантных БК нам, возможно, придется выбрать конкретное действие для вариационного принципа.

См. также, например, этот связанный пост Phys.SE.

--

$^1$ Конечное условие (FC) аналогично.

Андрей · Answer 2

Во-первых, лагранжиан не является сохраняющейся величиной, поэтому $\frac{1}{2} m x \ddot{x} + V$ не сохраняется. Например, для частицы в постоянном гравитационном потенциале с $V = m g x$ , принимая решение $x(t) = - \frac{1}{2} g t^2$ даст для этого количества $\frac{1}{4} m g^2 t ^2 - \frac{1}{2} m g^2 t^2 = -\frac{1}{4} m g^2 t^2$ , который явно не сохраняется.

Во-вторых, если вы проведете вывод уравнения Эйлера-Лагранжа, то обнаружите, что неединственность лагранжиана следует из предположения, что вариация обращается в нуль в конечных точках пути. Это позволяет вам игнорировать члены лагранжиана, которые являются полными производными; поскольку разница между стандартным кинетическим членом и тем, что вы записали, представляет собой полную производную:

\frac{1}{2} м {\dot{Икс}}^{2} - (- \frac{1}{2} м Икс \ddot{Икс}) "=" \frac{д}{д т} (\frac{1}{2} м \dot{Икс} Икс)

$\begin{equation} \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \left(-\frac{1}{2} m x \ddot{x}\right) = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \left(\frac{1}{2} m \dot x x\right) \end{equation}$ вы можете рассматривать лагранжианы как эквивалентные. Предположение, что границы пути фиксированы, является распространенным предположением, которого часто достаточно для того, что нас интересует.

Однако в изменении границы действия есть информация, и в ряде случаев важно правильно зафиксировать граничные условия. Например, вы можете вывести канонический импульс, потребовав, чтобы вариация пути на границе обращалась в нуль. В этих случаях лагранжиан фиксируется без двусмысленности в отношении граничного члена благодаря четко определенному вариационному принципу. В ОТО к действию необходимо добавить так называемый граничный член Гиббонса-Хокинга-Йорка, и он важен для описания квантовых эффектов. [1]

Наконец, в своем вопросе вы неявно изменили знак действия. Пока вы говорите классически и смотрите только на записанную вами систему, это не создает проблемы. Но если вы добавили свой лагранжиан (с неправильным знаком) к стандартному лагранжиану $\frac{1}{2} M \dot{X}^2 - V(X)$ , и добавил термин связь $x$ и $X$ , то вы обнаружите, что ваша система имеет призрачную нестабильность. Итак, стоит быть осторожным со знаком лагранжиана, и, следовательно, лучший способ написать ваш член был бы $-\frac{1}{2} m x \ddot{x} - V$ (хотя в вашем случае это не имеет значения).

[1] http://quark.itp.tuwien.ac.at/~grumil/pdf/lecture7_2018.pdf

подождите, лагранжиан $\frac{1}{2}mxx'' + V$ , $\frac{1}{2}mxx'' - V$ не лагранжиан, и я все еще думаю, что он (второе выражение не лагранжиан) сохраняется
хорошо, я понимаю, что вы имеете в виду, так что этот новый лагранжиан - это просто классический, сдвинутый на константу, которую дали бы граничные члены.
@frogeyedpeas Я исправил знак и добавил пример, когда он не сохраняется.
@frogeyedpeas Логика не в том, что граничные условия сдвигают действие на константу. Логика заключается в том, что когда вы меняете член общей производной (TD), например $\mathcal{L}_{\rm T.D.} = \frac{d f}{dt}$ , где $f$ является некоторой функцией $x$ , Вы получаете $\delta L_{\rm T.D.} = \frac{\partial f}{\partial x} \delta x \Big|^{x=x(t_f)}_{x=x(t_i)}$ , где $t_i$ это начальное время и $t_f$ это последний раз. Если мы предположим $\delta x(t_i) = \delta x(t_f) =0$ , затем $\delta L_{\rm T.D.} = 0$ .
@frogeyedpeas (а) В этих простых примерах иногда случаются случайные отмены; изначально я собирался использовать гармонический осциллятор в качестве контрпримера, но он не работает, так как $\frac{1}{2} m x \ddot{x} + V = \frac{1}{2} x \left(m \ddot{x} + \frac{2 V}{x}\right)$ , и это просто случайно для гармонического осциллятора, что $\frac{2 V}{x} = V'$ , поэтому эта комбинация обращается в нуль с помощью уравнений движения. Это просто артефакт слишком простого примера. (b) Однако ни одна из двух написанных вами величин не сохраняется в моем примере.
извините за мой предыдущий комментарий, я удалил его, я сделал арифметическую ошибку. Но после пересмотра я заметил, что забавно, что $mxx'' +mgx$ сохраняется. Это, вероятно, просто случайная сохраняющаяся величина, такая как гармонический пример, который вы только что привели (это происходит для сохранения моих целевых величин)
@frogeyedpeas Я также не думаю, что ваше новое количество сохраняется. Мой пример по построению имеет $\ddot{x}=g$ , которое является постоянным (свободно падающим движением). Так что конечно $m g + m \ddot{x}$ в этом примере сохраняется, хотя это не говорит ничего глубокого, кроме того факта, что ускорение постоянно. Но если умножить это на $x$ , вы получите то, что растет как $t^2$ .
Нет, ты снова прав, он должен был сказать $2mxx’’ + mgx$ , сегодня просто не мой день
@frogeyedpeas Не беспокойтесь :) Я думаю, что урок состоит в том, чтобы доверять тому, что вы можете доказать в целом, а не предполагать, что вы можете обобщать отношения, которые вы получаете только в особых ситуациях. (Хотя вы также часто получаете много информации, изучая частные случаи — вам просто нужно быть осторожным, чтобы не делать чрезмерных обобщений)
@frogeyedpeas FWIW Я думаю, вы занимаетесь тем, что математик Терри Тао называет задавая себе глупые вопросы и отвечая на них , что, по его мнению (а также мое гораздо менее известное мнение) является отличным способом учиться.

Клеонис · Answer 3

В случае стационарного действия Гамильтона неединственность, о которой вы говорите, не имеет значения.

Точка, где резина соприкасается с дорогой, является ограничением, заключающимся в том, что по мере движения объекта, подверженного ускорению из-за градиента потенциала, скорость изменения кинетической энергии должна соответствовать скорости изменения потенциальной энергии.

Вставка лагранжиана ( $E_k-E_p$ ) в уравнении Эйлера-Лагранжа достигает цели удовлетворения этого ограничения.

Вы можете построить более запутанные выражения, которые также удовлетворяют ограничению, согласно которому скорость изменения кинетической энергии должна соответствовать скорости изменения потенциальной энергии, но эти запутанные выражения ничего не добавляют. Они просто( $E_k-E_p$ ) с добавлением ненужного багажа.

Стационарное действие Гамильтона делает одно и только одно: оно выражает ограничение, согласно которому скорость изменения кинетической энергии должна соответствовать скорости изменения потенциальной энергии. Для демонстрации этого: я ссылаюсь на ответ, который я представил здесь по физике. SE:
стационарное действие Гамильтона.

(Характер демонстрации носит графический характер; основные моменты визуализируются на диаграммах.)

@frogeyedpeas Из чистого любопытства: согласны ли вы с тем, что стационарное действие Гамильтона делает одно и только одно: налагает ограничение, согласно которому в любой момент времени скорость изменения кинетической энергии должна соответствовать скорости изменения потенциальной энергии. Параллельно с этим: согласны ли вы: стационарное действие Гамильтона действует на бесконечно малом уровне, поэтому его можно выразить дифференциальным уравнением ; уравнение Эйлера-Лагранжа. Тот факт, что уравнение Эйлера-Лагранжа является дифференциальным уравнением, должен лежать в основе понимания стационарного действия Гамильтона.

Есть ли физический смысл в неединственности принципа наименьшего действия?

Сидхарт Гошал

Джастин Т

Филипе Мигель

Сидхарт Гошал

Сидхарт Гошал

Филипе Мигель

СРС

Сидхарт Гошал

Сидхарт Гошал

СРС

Сидхарт Гошал

Ответы (3)

Qмеханик

Андрей

Сидхарт Гошал

Сидхарт Гошал

Андрей

Андрей

Андрей

Сидхарт Гошал

Андрей

Сидхарт Гошал

Андрей

Андрей

Клеонис

Клеонис

Каков физический смысл утверждения «лагранжиан может быть определен только с точностью до полной производной»?

Почему вариация поверхностного члена равна нулю?

Почему мы можем считать конечную точку фиксированной при выводе уравнения Эйлера-Лагранжа в механике?

Вариация действия с вариациями временных координат

Когда/почему принцип наименьшего действия плюс граничные условия однозначно не определяют путь?

Является ли принцип наименьшего действия краевой задачей или задачей с начальными условиями?

Вывод Гольдштейна «принципа наименьшего действия»

Вопрос о явной лазейке в принципе наименьшего действия: граничное условие vs начальное условие

Необходимость пограничного члена Гиббонса-Хокинга-Йорка (GHY)

Когда числовое значение лагранжиана оценивается на оболочке как полный дифференциал?