Почему ⟨x|x′⟩=δ(x−x′)⟨x|x′⟩=δ(x−x′)\langle x| х' \rangle=\delta(xx')? [дубликат]

Question

Почему ⟨x|x′⟩=δ(x−x′)⟨x|x′⟩=δ(x−x′)\langle x| х' \rangle=\delta(xx')? [дубликат]

Физика
вероятность
гильбертово пространство
нормализация
квантовая механика
Дирак-дельта-распределения

физика

Я пытался найти какое-либо решение или доказательство для

⟨ Икс | {Икс}^{'} ⟩ "=" дельта (Икс - {Икс}^{'}),

$\langle x| x' \rangle=\delta(x-x'),$ но я пришел только к этому посту: Волновая функция и нотация скобки Дирака

Так я получил информацию, что вектор $|x\rangle$ образуют нормированный по Дираку базис гильбертова пространства.

Я знаю, что распределение дирак-дельта определяется так:

дельта (Икс - {Икс}^{'}) "=" {\begin{cases} 0 & если Икс \neq {Икс}^{'} \\ \infty & если Икс "=" {Икс}^{'} \end{cases},

$\delta(x-x') = \begin{cases} 0 &\mbox{if } x\neq x' \\ \infty & \mbox{if } x=x' \end{cases},$ это означает, что мой x' - это точка на моей оси x, где у меня есть мой бесконечный высокий пик. А также

\int_{- \infty}^{\infty} д Икс \cdot дельта (Икс - {Икс}^{'}) "=" 1.

$\int_{-\infty}^{\infty}dx\cdot \delta(x-x')=1.$

Но как на самом деле соотнести это со скалярным произведением векторов х, х' в гильбертовом пространстве, которые образуют его так называемый "дирациально-нормированный" базис?

Можете ли вы дать мне несколько советов по этому поводу, пожалуйста? Или, может быть, вы действительно знаете ссылку, где это объясняется.

пользователь95137

Возможный дубликат Различия между ортогональностью и дельта-функцией Кронекера?

Qмеханик

Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/89958/2451 , physics.stackexchange.com/q/273423/2451 и ссылки в них.

Боб Найтон

Не ответ (приведенные ниже идеальны), а немного придирки.

δ

$\delta$ -функция определяется не так, как вы говорите, а тем фактом, что

ф (Икс) "=" \int_{- \infty}^{\infty} д у ф (у) дельта (Икс - у)

$f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}y\,f(y)\delta(x-y)$ Для всех хорошо себя зарекомендовавших функций

f (x)

$f(x)$ . Я знаю, что это кажется педантичным, но действительно хорошо убедиться, что вы используете свое определение только как интуитивную отправную точку для понимания распределения в физическом контексте (

δ

$\delta$ -функциональные потенциалы или заряды, например).

ФраШелле

Возможный дубликат Как выбирается «нормализация» ненормализуемых состояний?

Ответы (2)

Почему ⟨x|x′⟩=δ(x−x′)⟨x|x′⟩=δ(x−x′)\langle x| х' \rangle=\delta(xx')? [дубликат]

Возможный дубликат Различия между ортогональностью и дельта-функцией Кронекера?
Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/89958/2451 , physics.stackexchange.com/q/273423/2451 и ссылки в них.
Не ответ (приведенные ниже идеальны), а немного придирки. $\delta$ -функция определяется не так, как вы говорите, а тем фактом, что $ф (Икс) "=" \int_{- \infty}^{\infty} д у ф (у) дельта (Икс - у)$ $f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}y\,f(y)\delta(x-y)$ Для всех хорошо себя зарекомендовавших функций $f(x)$ . Я знаю, что это кажется педантичным, но действительно хорошо убедиться, что вы используете свое определение только как интуитивную отправную точку для понимания распределения в физическом контексте ( $\delta$ -функциональные потенциалы или заряды, например).
Возможный дубликат Как выбирается «нормализация» ненормализуемых состояний?

Альфред Центавр · Answer 1

Разве это не просто свойство просеивания ?

ф (Икс) "=" \int д {Икс}^{'} ф ({Икс}^{'}) дельта (Икс - {Икс}^{'})

$f(x) = \int\mathrm{d}x'\;f(x')\,\delta(x - x')$

То есть, если вы принимаете вышеизложенное и если вы принимаете это

| ψ ⟩ "=" \int д {Икс}^{'} ψ ({Икс}^{'}) | {Икс}^{'} ⟩

$|\psi\rangle = \int \mathrm{d}x'\,\psi(x')\,|x'\rangle$

затем

ψ (Икс) "=" ⟨ Икс | ψ ⟩ "=" ⟨ Икс | \int д {Икс}^{'} ψ ({Икс}^{'}) | {Икс}^{'} ⟩ "=" \int д {Икс}^{'} ψ ({Икс}^{'}) ⟨ Икс | {Икс}^{'} ⟩

$\psi(x) = \langle x|\psi\rangle = \langle x| \int \mathrm{d}x'\,\psi(x') \,|x'\rangle = \int \mathrm{d}x'\,\psi(x')\,\langle x|x'\rangle$

\Rightarrow ⟨ Икс | {Икс}^{'} ⟩ "=" дельта (Икс - {Икс}^{'})

$\Rightarrow \langle x|x'\rangle = \delta(x - x')$

Аргумент не является окончательным. Таким образом, вы можете сделать вывод, что $\langle x| x'\rangle - \delta(x,x')$ производит $0$ при мазании любой функцией, не $\langle x| x'\rangle = \delta(x,x')$ ...
@ValterMoretti: Этот момент меня интересует - не могли бы вы уточнить?
Разбирать особо нечего: от $\psi(x) = \int dx' \psi'(x) \langle x|x'\rangle$ и $\psi(x) = \int dx' \psi'(x) \delta(x-x')$ Вы получаете $0 = \int \psi (x') (\langle x|x'\rangle - \delta(x-x'))$ для каждого $\psi$ . Означает ли это $\langle x|x'\rangle = \delta(x-x')$ ?
Без точного определения «дельта-функции», выбора соответствующего класса функций и т. д. трудно развивать какие-либо строгие рассуждения. Что мы можем сказать, так это то, что формальные манипуляции с символами предполагают, что $\langle x|x'\rangle = \delta(x-x')$ .
@ValterMoretti: Поскольку я новичок в обозначении «кет», разработка полезна, и суть кажется очень ясной. Есть ли модификация аргумента, которая является решающей?
Может быть, на этом уровне формализма достаточно, ведь это практическое применение математики в физике, а не математика. Как вы, наверное, знаете $\delta$ не является функцией, а написанное вами «определение» непоследовательно: если $\delta$ где функция, так как $\{x_0\}$ имеет нулевую меру, вы получите $\int \delta(x-x_0) dx=0$ даже если $\delta(0) = \infty$ .
Чтобы сделать этот аргумент убедительным на таком уровне строгости, достаточно принять какую-нибудь небрежную аксиому вроде этой: $\int f(x) g(x) dx=0$ для всех $g$ подразумевает $f(x)=0$ для всех $x$ "...
(Кстати, я проголосовал за +1 ответ Альфреда Центавра)
@ValterMoretti, ваши ответы здесь часто выше моего уровня понимания, но мне всегда нравится их читать. Спасибо за ваш голос.

Дж. Г. · Answer 2

Во-первых, убедитесь, что любое конечномерное векторное пространство, которое вы можете легко представить в обозначениях, более привычных, чем скобочные, $\sum_i \left|i\right\rangle\left\langle i\right|$ тождественный оператор, где сумма по элементам $\left|i\right\rangle$ некоторого ортонормированного базиса. Действительно,

\sum_{я} | я ⟩ ⟨ я | Дж ⟩ "=" \sum_{я} | я ⟩ {дельта}_{я Дж} "=" | Дж ⟩

$\sum_i \left|i\right\rangle\left\langle i|j\right\rangle=\sum_i \left|i\right\rangle\delta_{ij}=\left|j\right\rangle$ доказывает, что предполагаемая идентичность действует, как и ожидалось, на базисных элементах, и тогда общий случай следует из линейности. Все, что нам нужно, это условие ортонормированности

⟨ i | j ⟩ = δ_{i j}

$\left\langle i|j\right\rangle=\delta_{ij}$ .

Далее мы перейдем к пространству, которое не только бесконечномерно, но и имеет непрерывный спектр меток базисных элементов. Наш тождественный оператор теперь является интегралом, а не суммой, $\int dx\left|x\right\rangle\left\langle x\right|$ . Мы хотим

| {Икс}^{'} ⟩ "=" \int д Икс | Икс ⟩ ⟨ Икс | {Икс}^{'} ⟩,

$\left|x'\right\rangle=\int dx\left|x\right\rangle\left\langle x|x'\right\rangle,$ что очевидно верно тогда и только тогда, когда

| x ⟩ ⟨ x | x^{'} ⟩ = δ (x - x^{'})

$\left|x\right\rangle\left\langle x|x'\right\rangle=\delta\left( x-x'\right)$ .

Почему ⟨x|x′⟩=δ(x−x′)⟨x|x′⟩=δ(x−x′)\langle x| х' \rangle=\delta(xx')? [дубликат]

физика

пользователь95137

Qмеханик

Боб Найтон

ФраШелле

Ответы (2)

Альфред Центавр

Вальтер Моретти

Даниэль

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Даниэль

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Альфред Центавр

Дж. Г.

Нормализация базисных векторов с непрерывным индексом?

Единицы дельта-функции Дирака в квантовой механике

δ(0)=∫∞−∞|x1(x)|2dxδ(0)=∫−∞∞|x1(x)|2dx\delta(0)=\int_{-\infty}^\infty |x_1( х)|^2dx?

Нормализация волновой функции в виде Aei(kx-wt)Aei(kx-wt)Ae^{i(kx-wt)}

Как волновая функция свободной частицы ψ(x,t)=Aexp{i(kx−ωt)}ψ(x,t)=Aexp⁡{i(kx−ωt)}\psi(x,t)=A \exp \{ i(kx-\omega t)\} удовлетворяют условию нормализации? [дубликат]

Доказательство независимости нормировочной константы волновой функции от времени

Квантовая механика: как именно работает «нормализация дельта-функции» для собственных функций в случае одномерного свободного пространства?

Нормализация собственной функции к дельта-функции Дирака

Как интерпретируется нулевая вероятность в физике?

Попытка сначала понять основы положения и импульса в квантовой механике.