Квантовая механика: как именно работает «нормализация дельта-функции» для собственных функций в случае одномерного свободного пространства?

Определение «нормализации дельта-функции» говорит, что базис собственных функций частицы в свободном пространстве ортонормирован, когда

Поэтому рассмотрим частицу в одномерном свободном пространстве. Собственные функции положения частицы имеют вид$\phi_{position}=\delta_n(x-x_n)$, и его импульсные собственные функции$\phi_{momentum} =e^{ik_nx}$.

Я понимаю, что собственные функции положения ортонормированы, так как можно использовать свойство просеивания дельта-функций в следующей формуле и показать, что собственные функции положения действительно ортонормированы в смысле нормализации дельта-функции. Другими словами

Однако мне трудно применить то же определение к собственным функциям импульса, что и

В обоих случаях неясно, удовлетворяет ли интеграл определению нормализации дельта-функции. Для$n=m$случай,$\int_{-\infty}^{\infty}1\ \mathrm{d}x = \infty$может быть любым кратным дельта-функции, т.е.$\delta$,$2\delta$,$3\delta$и т. д., так как определение бесконечности расплывчато. С другой стороны, когда$n\ne m$, интеграл не обращается в нуль и, следовательно, не удовлетворяет определению.

Я почти уверен, что путаница, которую я здесь имею, связана с определениями интегрирования обобщенных функций и преобразования Фурье. Потому что моды в преобразовании Фурье тоже ортогональны друг другу. Но как инженер-электрик я просто принял преобразование Фурье как должное и забыл, как доказывать ортогональность.

Что мне здесь не хватает? Как доказать$\int_{-\infty}^{\infty}1\ \mathrm{d}x = \infty = \delta$и$\int_{-\infty}^{\infty}(e^{ik_nx})^*\ e^{ik_mx}\mathrm{d}x=\delta_{n,m}$?