Нормализация собственной функции к дельта-функции Дирака

Question

Нормализация собственной функции к дельта-функции Дирака

Физика
гильбертово пространство
нормализация
преобразование Фурье
квантовая механика
Дирак-дельта-распределения

Персона с именем

В первой главе «Принципов квантовой механики» Р. Шанкара он описывает нахождение собственных значений и собственных функций оператора $K=-iD=-i\frac{d}{dx}$ . Для контекста он делает это:

Чего я не понимаю, так это того, как он пришел к $A=1/\sqrt{2\pi}$ . Вроде бы потому (поскольку это бесконечномерное пространство) мы хотим нормализовать к дельта-функции Дирака, но я не понимаю, почему

\begin{matrix} (*) & \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} е^{- я (к - к^{'}) Икс} г Икс "=" дельта (к - к^{'}) . \end{matrix}

$\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-i(k-k')x}dx=\delta(k-k').\tag{*}$ Он толком этого не объясняет. Как он его нормализует?

DanielC

Дельта-дираковское распределение является хорошо определенным умеренным распределением. Таким образом, для него существует корректное преобразование Фурье функции.

F (f (x)) = δ (k - k^{'})

$\mathfrak{F}(f(x)) = \delta (k-k')$

Qмеханик

Если ваш вопрос касается только нормализации последней формулы (*), то это чисто математический вопрос, объясненный в теории Фурье.

Персона с именем

Хорошо, у меня, вероятно, еще нет математической машины. Я буду считать это само собой разумеющимся на данный момент, пока позже. Спасибо.

Ответы (1)

Нормализация собственной функции к дельта-функции Дирака

Дельта-дираковское распределение является хорошо определенным умеренным распределением. Таким образом, для него существует корректное преобразование Фурье функции. $\mathfrak{F}(f(x)) = \delta (k-k')$
Если ваш вопрос касается только нормализации последней формулы (*), то это чисто математический вопрос, объясненный в теории Фурье.
Хорошо, у меня, вероятно, еще нет математической машины. Я буду считать это само собой разумеющимся на данный момент, пока позже. Спасибо.

Фробениус · Answer 1

Для функции $f(x)$ преобразование Фурье определяется как:

\begin{matrix} (01) & \tilde{ф} (к) "=" \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ф (Икс) е^{я к Икс} г Икс \end{matrix}

$\begin{equation} \overset{\boldsymbol{\sim}}{f}\left(k\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!f\left(x\right)e^{ikx}\mathrm dx \tag{01}\label{01} \end{equation}$ Это преобразование обратимо, то есть:

\begin{matrix} (02) & ф (Икс) "=" \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \tilde{ф} (к) е^{- я Икс к} г к \end{matrix}

$\begin{equation} f\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!\overset{\boldsymbol{\sim}}{f}\left(k\right)e^{\boldsymbol{-}ixk}\mathrm dk \tag{02}\label{02} \end{equation}$

С, уравнение $\eqref{01}$ дает:

\begin{matrix} (03) & \tilde{дельта} (к) "=" \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} дельта (Икс) е^{я к Икс} г Икс "=" \frac{1}{\sqrt{2 π}} \end{matrix}

$\begin{equation} \overset{\boldsymbol{\sim}}{\delta}\left(k\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!\delta\left(x\right)e^{ikx}\mathrm dx =\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \tag{03}\label{03} \end{equation}$ То есть преобразование Фурье

δ

$\delta$ -функция является константой

1 / \sqrt{2 π}

$1/\sqrt{2\pi}$ . Уравнение

(02)

$\eqref{02}$ дает:

\begin{matrix} (04) & дельта (Икс) "=" \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} е^{- я Икс к} г к "=" \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} е^{- я Икс к} г к \end{matrix}

$\begin{equation} \delta\left(x\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\boldsymbol{-}ixk}\mathrm dk =\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!e^{\boldsymbol{-}ixk}\mathrm dk \tag{04}\label{04} \end{equation}$

Это иногда называют интегральным определением $\delta$ -функция.

Обмен ролямиив уравнении $\eqref{04}$ , определение становится:

\begin{matrix} (05) & дельта (к) "=" \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} е^{- я к Икс} г Икс \end{matrix}

$\begin{equation} \delta\left(k\right)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!e^{\boldsymbol{-}ikx}\mathrm dx \tag{05}\label{05} \end{equation}$

Заменав уравнении $\eqref{05}$ с $k-k'$ мы приходим к:

\begin{matrix} (06) & дельта (к - к^{'}) "=" \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} е^{- я (к - к^{'}) Икс} г Икс \end{matrix}

$\begin{equation} \delta\left(k-k'\right)=\dfrac{1}{2\pi}\int\limits_{\boldsymbol{-}\infty}^{\boldsymbol{+}\infty}\!\!\!e^{\boldsymbol{-}i(k-k')x}\mathrm dx \tag{06}\label{06} \end{equation}$ это уравнение, которое использовал Шанкар.

@Mohamed Anwar: я одобрил ваше редактирование. Большое спасибо.

Нормализация собственной функции к дельта-функции Дирака

Персона с именем

DanielC

Qмеханик

Персона с именем

Ответы (1)

Фробениус

Фробениус

Квантовая механика: как именно работает «нормализация дельта-функции» для собственных функций в случае одномерного свободного пространства?

Попытка сначала понять основы положения и импульса в квантовой механике.

Единицы дельта-функции Дирака в квантовой механике

δ(0)=∫∞−∞|x1(x)|2dxδ(0)=∫−∞∞|x1(x)|2dx\delta(0)=\int_{-\infty}^\infty |x_1( х)|^2dx?

Нормализация базисных векторов с непрерывным индексом?

Почему ⟨x|x′⟩=δ(x−x′)⟨x|x′⟩=δ(x−x′)\langle x| х' \rangle=\delta(xx')? [дубликат]

Почему мы рассматриваем векторы длины N=2nN=2nN = 2^n для квантового преобразования Фурье?

Что означает обозначение Ψk/(Ψk,Ψk)1/2Ψk/(Ψk,Ψk)1/2\Psi_k/(\Psi_k,\Psi_k)^{1/2}?

Как можно взять скалярное произведение состояний, принадлежащих двум разным гильбертовым пространствам?

Гамильтониан квантового гармонического осциллятора с ψ(x)=δ(x)ψ(x)=δ(x)\psi(x)=\delta(x): сравнение с классической механикой