Нормализация базисных векторов с непрерывным индексом?

Любая хорошая основа должна быть полной. Если множество всех$|x\rangle$завершен, любой другой вектор$|\psi\rangle$в гильбертовом пространстве вашей системы должно быть доступно для записи как$|\psi\rangle=\sum_{x} |x\rangle\langle x|\psi\rangle$. Эта сумма не имеет смысла для непрерывных переменных$x$, следовательно, необходимо переопределить отношение полноты с помощью интеграла (как прекрасно демонстрирует ответ Яна). Как только вы используете интегралы для определения значимого отношения полноты, тогда отношение$\langle x|y\rangle =\delta_{x,y}$неправильно, потому что это дает

$$\begin{equation} |y\rangle=\int \mathrm{d}x |x\rangle\langle x|y\rangle=\int \mathrm{d}x |x\rangle\delta_{x,y}=0, \end{equation}$$ что непоследовательно. Выход - определить $\langle x|y\rangle=\delta(x-y)$, что правильно дает $$\begin{equation} |y\rangle =\int \mathrm{d}x |x\rangle\langle x|y\rangle=\int \mathrm{d}x |x\rangle \delta(x-y)=|y\rangle. \end{equation}$$ Сейчас $\langle x|y\rangle=\delta(x-y)$приводит к $\langle x|x\rangle=\delta(0)$, что вам может не понравиться, но это лучшее, что можно сделать.

I) Мы интерпретируем вопрос ОП (v2) следующим образом:

Почему бы не нормализовать

$$\tag{1} \langle x_1 | x_2\rangle~=~\delta_{x_1,x_2}~:=~\left\{ \begin{array}{ccl} 1 & \text{for} & x_1= x_2, \\ 0& \text{for} & x_1\neq x_2, \end{array} \right.$$ через непрерывную дельта-функцию Кронекера , а не дельта-распределение Дирака $$\tag{2} \langle x_1 | x_2\rangle~=~\delta(x_1-x_2)~?$$

В двух словах, причина в том, что правая сторона. экв. (1) равна нулевой функции почти всюду относительно. мера Лебега.

В этом ответе мы хотели бы построить интуицию с помощью волновых пакетов Гаусса, чтобы доказать, что мы должны использовать нормализацию дельта-распределения Дирака (2) (возможно, по модулю обычной константы нормализации), а не непрерывную нормализацию дельта-функции Кронекера (1).

II) Чтобы быть конкретным, давайте для простоты рассмотрим кет

$$\tag{3} |\psi\rangle \quad\longleftrightarrow\quad\psi(x)$$

как волновая функция положения$\psi(x)\in L^2(\mathbb{R})$в гильбертовом пространстве

$$\tag{4} L^2(\mathbb{R})~=~{\cal L}^2(\mathbb{R})/\sim,$$

где мы изменили отношение эквивалентности "$\sim$". Здесь${\cal L}^2(\mathbb{R})$— множество функций, интегрируемых с квадратом. Две функции$\phi\sim\psi$эквивалентны тогда и только тогда, когда$\phi$и$\psi$равны почти всюду (а.е.) относительно. мера Лебега. См., например, этот пост Phys.SE. Перекрытия/внутренние продукты читаются

$$\tag{5} \langle \phi|\psi\rangle ~:=~ \int_{\mathbb{R}} \! \mathrm{d}x ~\phi(x)^{\ast}~\psi(x).$$

III) Теперь с прагматической точки зрения, за исключением математических конструкций, таких как распределения, то, что представляло бы состояние, локализованное в$x=x_1$? Позволим волновому пакету расплыться на крошечную величину$\epsilon>0$, скажем, меньше любого экспериментального разрешения. Мы можем смоделировать такую ​​волновую функцию с помощью функции Гаусса с чрезвычайно узким пиком.

$$\tag{6} |x_1\rangle \quad\longleftrightarrow\quad \psi_{x_1}(x)~=~ A\epsilon^{-p} \exp\left[-\left(\frac{x-x_1}{2\epsilon}\right)^2\right],$$

где$p\in\mathbb{R}$есть некоторая фиксированная мощность и$A>0$нормировочная константа, которая будет определена ниже. Нормировка (6) есть

$$\langle x_1|x_1\rangle ~\stackrel{(5)}{=}~ \int_{\mathbb{R}} \! \mathrm{d}x ~|\psi_{x_1}(x)|^2 ~\stackrel{\text{Gauss. int.}}{=}~ \sqrt{2\pi}A^2\epsilon^{1-2p}$$ $$\tag{7}\longrightarrow ~\left\{ \begin{array}{ccl} 0 & \text{if} & p<\frac{1}{2} \\ \sqrt{2\pi}A^2& \text{if} & p=\frac{1}{2} \\ \infty& \text{if} &p>\frac{1}{2} \end{array} \right\} \text{ for } \epsilon~\to~ 0^{+}.$$

Чтобы нормировка (7) не исчезала в пределе$\epsilon\to 0^{+}$, мы должны потребовать, чтобы власть$p\geq \frac{1}{2}$. Кронекеровская нормировка (1) [по модулю полной постоянной] соответствует степени$p=\frac{1}{2}$.

IV) В более общем смысле, если принять анзац (6), то перекрытие между двумя такими кетами$|x_1\rangle$и$|x_2\rangle$читается в распределительном смысле

$$\langle x_1|x_2\rangle~\stackrel{(5)}{=}~\int_{\mathbb{R}} \! \mathrm{d}x ~\psi_{x_1}(x)^{\ast}~\psi_{x_2}(x) ~\stackrel{(6)}{=}~A^2\int_{\mathbb{R}} \! \mathrm{d}x ~\epsilon^{-2p}~ \exp\left[-\left(\frac{x-x_1}{2\epsilon}\right)^2-\left(\frac{x-x_2}{2\epsilon}\right)^2\right]$$ $$~\stackrel{\text{Gauss. int.}}{=}~\sqrt{2\pi}A^2\epsilon^{1-2p}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x_1-x_2}{2\epsilon}\right)^2\right]$$ $$\tag{8}\longrightarrow ~\left\{ \begin{array}{ccl} 0\text{ almost everywhere} & \text{if} & p<1 \\ 4\pi A^2~\delta(x_1-x_2)& \text{if} & p=1 \\ \text{too singular}& \text{if} &p>1 \end{array} \right\} \text{ for } \epsilon~\to~ 0^{+}.$$

На последнем шаге мы использовали представление теплового ядра распределения Дирака . Нормировка Дирака (2) [по модулю полной постоянной] соответствует степени$p=1$. Подробно, если$f(x_1-x_2)$является тестовой функцией, то ур. (8) утверждает, что

$$\tag{9}\int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x_1~ f(x_1-x_2)~ \langle x_1|x_2\rangle ~\longrightarrow ~\left\{ \begin{array}{ccl} 0 & \text{if} & p<1 \\ 4\pi A^2~ f(0)& \text{if} & p=1 \\ \infty & \text{if} &p>1 \end{array} \right\} \text{ for } \epsilon~\to~ 0^{+}.$$

V) Физически, согласно правилу Борна , интеграл (10) перекрытия

$$\tag{10} \left| \int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x_1~ \langle x_1|x_2\rangle\right|^2 ~=~1$$

предполагается обозначать тавтологическую вероятность того, что частица, находящаяся в положении$x_2$принадлежит действительной оси$\mathbb{R}$с вероятностью 100%.

Сравнение ур. (9) и (10), естественно приходим к выбору мощности$p=1$, а значит, и нормализацию Дирака (2). Обратите внимание, что мощность$p=1$означает, что состояние положения$|x_1\rangle$не нормализуется и, в частности, не принадлежит гильбертовому пространству, ср. экв. (7).

VI) Более строгое обсуждение уравнений. (2) и (10) можно получить, введя собственные импульсные состояния. Получается, что в конечном итоге ур. (10) проблематично, ср. например, этот пост Phys.SE.

Почему нельзя нормировать эти базисные векторы к единице, только к дельта-функции?

Потому что это сделало бы эти непрерывно индексированные векторы непригодными для роли «непрерывного базиса» для нормализуемых функций. Вот объяснение. Предположим, что некоторая функция$\psi(\mathbf r)$выражается как интеграл

$$\psi(\mathbf r) = \int c(k) \phi_k(\mathbf r)\,dk,$$ где функции $\phi_k$, $\phi_{k'}$ортогональны для $k\neq k'$: $$\int \phi_k^*(\mathbf r) \phi_{k'}(\mathbf r)\,d^3\mathbf r = 0$$ (по крайней мере, в дистрибутивном смысле).

Приведенное выше выражение$\psi$можно описать как «линейную комбинацию базисных функций$\phi_k(\mathbf r)$". Если функция$\psi$будет использоваться для расчета плотности вероятности в соответствии с правилом Борна, мы должны потребовать

$$\int \psi^*\psi\, d^3\mathbf r = 1.$$ Это ведет к $$\int \int c^*(k)c(k') (\phi_k, \phi_{k'}) \,dkdk' = 1,~~~(*)$$ где $(\phi_k, \phi_{k'})$является скалярным произведением двух непрерывно индексируемых функций: $$(\phi_k, \phi_{k'}) = \int \phi_k^*(\mathbf r) \phi_{k'}(\mathbf r)\,d^3\mathbf r.$$

Представьте себе точки плоскости, отмеченные декартовыми координатами.$k,k'$. Если бы у нас было$(\phi_k, \phi_{k'}) = \delta_{kk'}$с обычной дельтой Кронекера скалярное произведение было бы ненулевым только на диагонали$k=k'$которая имеет нулевую площадь, а на всей большой площади, где$k\neq k'$это исчезнет. Интеграл в (*) тогда тоже будет равен нулю и не может быть равен 1, как это необходимо.

Один из способов сделать интеграл в (*) ненулевым — постулировать, что для приведенных выше ортогональных функций$(\phi_k, \phi_{k'})$следует рассматривать как некоторое сингулярное распределение типа введенного Дираком, чтобы внести существенный вклад от диагонального$k=k'$только.

На практике мы выбираем функции$\phi_k(\mathbf r)$так, чтобы они подчинялись

$$(\phi_k, \phi_{k'})= \delta(k-k').$$

Тогда интеграл в (*) равен

$$\int |c(k)|^2\,dk,$$ который может быть ненулевым и равным 1 для правильно нормализованной функции $c(k)$.

На языке кетов кеты$|x\rangle, |y\rangle$должны быть такими, чтобы они удовлетворяли соотношению

$$\langle x|y\rangle = \delta(x-y),$$

потому что только тогда отношение

$$|\psi\rangle = \int |x\rangle \langle x|\psi\rangle \, dx,$$ что является частью мотивации формализма кетов, является действительным и согласуется с

$$\langle \psi|\psi\rangle = 1.$$

Выражение

$$\langle x|x\rangle$$ не является допустимым выражением и обычно не используется в манипуляциях с формализмом скобок; если бы мы использовали приведенное выше соотношение, мы получили бы $\delta(x-x)$, которое можно рассматривать либо как положительную бесконечность, либо вообще не имеющее смысла число (поскольку $\delta$не является обычной функцией и не имеет обычных числовых значений функции.)