Почему ядра со спином 1212\frac{1}{2} имеют нулевой электрический квадрупольный момент?

Ответ: Теорема Вигнера-Экарта .

В старой доброй связи углового момента (см. Коэффициенты Клебша-Гордана ) мы узнаем, что если система состоит из подсистемы со спином 1/2 и подсистемы со спином 2, то вся система в целом может иметь спин 5/2 или спин-2. 3/2, других значений нет. Правила

1. $|j_1-j_2| \leq j_\mathrm{total} \leq j_1+j_2$
2. $j_1+j_2+j_\mathrm{total}$является целым числом.

Что ж, теорема Вигнера-Экарта учит нас, что аналогичные правила применимы к операторам. Электрический квадрупольный оператор$Q$может быть выражен как сферический тензорный оператор ранга 2. Когда он действует на систему со спином 1/2, результирующий спин может быть только$\frac{5}{2}$или же$\frac{3}{2}$. Итак, если вы рассчитываете$\langle\frac{1}{2}| Q|\frac{1}{2}\rangle$, вы можете сгруппировать его как$\langle \frac{1}{2}| \;\;\; Q |\frac{1}{2}\rangle$. Другими словами, это внутренний продукт спин-$\frac{1}{2}$система с$Q|\frac{1}{2}\rangle$(который вращается$\frac{3}{2}$или же$\frac{5}{2}$). Итак, они ортогональны; внутренний продукт равен нулю.$\langle\frac{1}{2}| Q |\frac{1}{2}\rangle=0$.

По аналогичной логике дипольные моменты (электрические или магнитные) требуют спина ≥ 1/2, квадрупольные моменты требуют спина ≥ 1, октупольные моменты требуют спина ≥ 3/2 и т. д. (Дипольные операторы имеют ранг 1, квадрупольные — ранг 2, октупольные — 3 ранг и др.)

Я хочу дополнить формальный ответ Стива Бирнса, приведенный выше, простым наблюдением, которое на практике делает очевидным, что спин 1/2 не может осмысленно иметь квадрупольный момент.

Чтобы убедиться в этом, заметим, что квадрупольное взаимодействие входит в гамильтониан через член вида

$V = \vec{I}\cdot \mathbb{Q} \cdot \vec{I}$,

куда$\vec{I}$– вектор ядерного спина и где$\mathbb{Q}$– квадрупольный тензор. Квадрупольный тензор симметричен, поэтому всегда найдется базис, в котором он диагональен. Итак, без потери общности, давайте просто сосредоточимся на взаимодействиях формы

$V = \mathbb{Q}_{xx} I_x^2 + \mathbb{Q}_{yy} I_y^2 + \mathbb{Q}_{zz} I_z^2$,

куда$\mathbb{Q}_{jj}$это$j$диагональная компонента квадрупольного тензора. Для спина 1/2 операторы спина составляют половину операторов Паули,$I_j = \sigma_i/2$. Как следствие, они всегда равны$1/4$. Так

$V = \frac{1}{4}\left(\mathbb{Q}_{xx} + \mathbb{Q}_{yy} + \mathbb{Q}_{zz}\right) = \frac{1}{4}\textrm{Tr}\left(\mathbb{Q}\right)$.

Но поскольку квадрупольный тензор всегда бесследен, это означает, что$V = 0$одинаково. Таким образом, даже если мы постулируем квадрупольный момент для спина 1/2, он не может войти в гамильтониан. Алгебра операторов спина 1/2 допускает только нулевое квадрупольное взаимодействие.