Почему значение спина ±1/2±1/2\pm 1/2?

Я не знаю, действительно ли это то, о чем спрашивает OP (v1), но это замечательный факт в теории представлений , который можно вывести только из предположений, что

1. гильбертово пространство$V$государств$2$-размерный, и

2. реальность$so(3)$ Алгебра Ли

   $$[\hat{S}_i, \hat{S}_j ] ~=~i\hbar \epsilon_{ijk} \hat{S}_k \qquad\qquad (A)$$ спиновых операторов$\hat{S}_i$ действует на$V$,

что

может быть только один из следующих двух вариантов:

1. $m_s=\pm \frac{1}{2}$. ($V=\underline{2}$является дублетным представлением со спином$s=\frac{1}{2}$.)

2. $m_s=0$. ($V=\underline{1}\oplus\underline{1}$представляет собой сумму синглетных представлений со спином$s=0$.)

Конечно, вторая альтернатива не актуальна для электронов, у которых спин$s=\frac{1}{2}$.

Доказательство с использованием лестничных операторов см., например, в разделе 5 лекций 't Hooft . Файл в формате pdf доступен здесь .

Подводя итог логике, после того, как мы адаптировали соглашение о масштабировании (A) и (B), не осталось двусмысленности в том, что мы подразумеваем под переменной$m_s$. Как только мы договоримся о значении$m_s$, мы можем провести содержательное обсуждение возможных значений$m_s$. Затем мы используем теорию представлений, чтобы заключить, что значения$m_s$являются полуцелыми числами. Точно так же определение спинов$s\geq 0$не произвольны, а масштабированы таким образом, что$\hbar^2s(s+1)$становятся собственными значениями оператора Казимира $\hat{S}^2$.