Можем ли мы в квантовой механике (КМ) определить многомерный «спиновый» угловой момент, отличный от обычного трехмерного?

Я верю, что вы сможете, если попытаетесь пойти по пути поиска репрезентаций$SO(n)$группа над заданным гильбертовым пространством.

Я действительно не проводил расчет, но если это то же самое, у вас будет что-то вроде этого:

$H=L_2(\mathbb R^n,\mathbb C)$было бы гильбертовым пространством, которое соответствовало бы частицам со спином 0, и представление$SO(n)$группа будет предоставлена:

$\Phi: SO(n) \times H \rightarrow H$, с$(\Phi(g)\psi)(x)=\psi(g^{-1}x)$

Образующие этой группы симметрии соответствовали бы операторам углового момента. В этом случае, поскольку нет «Внутренней структуры», это будет просто орбитальный угловой момент.

Что касается частиц со спином:

Идея та же самая, с одним важным отличием — гильбертовым пространством, над которым вы работаете. Вы бы изменить$H=L_2(\mathbb R^n,\mathbb C)$включить дополнительные степени свободы, а самым прямым способом взять тензорное произведение с другим гильбертовым пространством. Я не знаю, благодаря кому, но следующий выбор приводит к знаменитому «уравнению Паули» (уравнение Шредингера со спином 1/2):$H=L_2(\mathbb R^n,\mathbb C^2) = L_2(\mathbb R^n,\mathbb C)\times L_2(\mathbb R^n,\mathbb C)$

В принципе, вы не знаете, возможно ли найти хорошее представление группы SO(n) в вышеупомянутом гильбертовом пространстве, поэтому, чтобы иметь возможность работать, вы пытаетесь$H=L_2(\mathbb R^n,\mathbb C^k)$

Итак, опять же, ища представления группы симметрии, вы получите следующую возможность:

$\Phi:H\times SO(n) \rightarrow H$данный$(\Phi(g)\psi)(x ) = \pi_k(g)\psi(g^{-1}x)$

были$\pi_k: SO(n)\times \mathbb C^k \rightarrow \mathbb C^k$является представлением$SO(n)$группа над конечной размерностью$\mathbb C^k$. По крайней мере один k гарантированно сработает, т.е.$k=n$, в остальных не уверен, в случае$SO(3)$, у вас есть представление для каждого нечетного k (целочисленный спин), но можно найти представление покрывающей группы$SU(2)$для всех к.

Я нахожу эту тему очень интересной, хотя у меня не было времени заниматься вычислениями. К сожалению, на этом мои познания в этом вопросе заканчиваются, поэтому кто-то другой должен будет помочь вам с фактическими расчетами.

Если у вас есть в руках, вы можете прочитать обсуждение Баллентина об угловом моменте. Я считаю, что это было очень поучительно, когда я читал его, поскольку в нем обсуждался этот аспект необходимости внутреннего пространства симметрии ($\mathbb C^k$выше), а также явно рассматривает случаи спина 1/2 и 1, а также обсуждает случай спина 3/2.

Редактировать:

Одна вещь, которую я забыл упомянуть, касается алгебры (генераторов)$SO(n)$группа,$\mathfrak{so}(n)$из$n \times n$антисимметричные вещественные матрицы. Итак, идея маркировки генераторов$\Sigma_{ij}$с антисимметричным индексом, как вы сделали выше, вероятно, правильный способ сделать это.

Также коммутационные соотношения будут заданы формулой$\mathfrak{so}(n)$коммутационные отношения, которые я не знаю наизусть, и я не уверен, что это именно то, что вы написали выше. Вот кое-что, что я нашел в Интернете на$\mathfrak{so}(n)$ алгебры .

Продолжение:

Итак, как указывал Петр Кравчук, физической идеей, стоящей за всеми этими рассуждениями, является идея закона превращения. Итак, в физике идея преобразования выражается в идее группы , которая представляет собой множество с некоторой композиционной операцией, которая делает возможным обсуждение таких вещей, как «выполнение одного преобразования за другим» или «выполнение обратного преобразования».

Большую часть времени вам нужно не только иметь представление о композиции и обратном преобразовании, но вы также хотите иметь некоторое ощущение непрерывности и/или плавности. Группы, которые являются гладкими, поэтому они «дифференцируемы», называются группами Ли .

В большинстве случаев вас интересуют не группы сами по себе, а «эффект», который они оказывают, когда воздействуют на какой-либо физический объект. Если у вас есть набор физических объектов$X$, что вы хотите сделать, так это найти какую-то функцию, которая изменяет эти объекты, но при этом создает действительные физические объекты того же типа, т. Е. Некоторую функцию$F: G\times X \rightarrow X$. Эта идея является концепцией группового действия .

Во многих случаях объекты, представляющие физический интерес, моделируются как векторы , другими словами, вещи, которые имеют смысл, вы «добавляете» и «умножаете на скаляр». Вы можете думать о положениях, скоростях и/или импульсе частиц.

Кроме того, есть также объекты, которые вы определяете точка-точка в вашем пространстве, такие вещи, как гравитационный потенциал, электрические поля и волновые функции! Все эти объекты описываются полями, т. е. в некотором смысле функциями.$E \rightarrow X$, где$E$вы — «физическое пространство», т. е. ваше пространство-время, которое обычно является либо евклидовым, либо минковским.

Наконец, идея (линейного) представления групп состоит в том, чтобы искать законы преобразования объектов, которые сами являются векторами. Итак, начнем с примера. У вас есть евклиево трехмерное пространство,$E=\mathbb R^3$, и вы хотите изучить повороты, т. е. преобразования, сохраняющие обычную трехмерную метрику:$<x,y> = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$

Другими словами, вам нужны функции$A:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3$так что$<Ax,Ay>=<x,y>$для всех$x,y\in\mathbb R^3$. Вы можете доказать, что все функции этого вида являются линейными функциями , а также что они образуют группу (и группу Ли также!), в указанном выше смысле. называется ортогональной группой$O(3)$. Большую часть времени мы также хотим сохранить ориентацию , поэтому мы также требуем, чтобы они удовлетворяли$\det(A)=1$. Это подмножество также образует группу, которая и является$SO(3)$, (собственные) вращения в трехмерном евклидовом пространстве.

Если у вас есть групповое действие, учитывающее линейные операции,$\Phi(A)(\alpha x+y) = \alpha(\Phi(A)x)+(\Phi(A)y)$для всех$x,y\in X$,$A\in G$и$\alpha \in \mathbb F$(подумайте о реальных и комплексных числах) вы называете это действие представлением . Возможно иметь объекты со «смешанными законами преобразования», и обычно вы не хотите, чтобы это происходило, поэтому вы обычно ищете объекты с «определенным законом преобразования», и это то же самое, что говорить о неприводимых представлениях вашего объекта . группа. С этого момента я буду использовать термин «представление» как синоним неприводимого представления, пока не будет указано иное.

Другой способ просмотра представлений - подумать$\Phi: G \rightarrow GL(X)$, где$GL(X)$это группа всех обратимых линейных преобразований (матриц) над X. Таким образом, вы ищете что-то, что уважает$\Phi(g_1g_2)= \Phi(g_1)\Phi(g_2)$. Таким образом, вы можете думать о поиске «копий» исходной группы по группе обратимых операторов в интересующем пространстве.

Теперь начинаем веселиться. Если у вас есть эта группа симметрии в пространстве положений, вы хотите спросить, что происходит с импульсом, когда вы поворачиваете положения. Поскольку набор импульсов (скоростей, если хотите) также$\mathbb R^3$, у вас нет проблем с установкой$\vec p' = A\vec p$.

Итак, просто для уточнения того, что мы делаем: у нас есть пространство физических позиций:$E = \mathbb R^3$, а у нас есть группа$G=SO(3)$который действует на$E$, т.е.$\Phi: G\times E \rightarrow E$по «тривиальному действию»$\Phi(A)\vec x = A\vec x$

Теперь у нас есть импульсное пространство (множество всех возможных импульсов)$P$что также равно$\mathbb R^3$, таким образом, у нас нет проблемы иметь те же самые «законы преобразования», что и исходные позиции, т.е. установить представление$\Phi_p : G \times P \rightarrow P$равным тривиальному выше. Это эквивалентно тому, чтобы сказать$\vec p' = \Phi_p(A)\vec p = A\vec p$.

Теперь мы можем спросить, что происходит, когда у вас есть поля, определенные в физическом пространстве, то есть «гладкие» (или почти) функции некоторого типа:$\mathcal F=\{f|f:E\rightarrow X\}$. В любом случае, вы можете спросить, как эти поля трансформируются, когда у вас есть «изменение координат», вызванное действием$SO(3)$на физическом пространстве. Обычно бывает так, что вы устанавливаете$\Phi_\mathcal F : G \times \mathcal F \rightarrow \mathcal F$поставив$(\Phi_\mathcal F(A) f)(x) = \Phi_X(A)f(A^{-1}x)$где$\Phi_X$является действием G над X. Если X — векторное пространство, вы также можете попытаться найти$\Phi_X$как представительство.

Итак, идея состоит в том, что вы сначала меняете координаты, а затем воздействуете на объект, который получается в результате. Обратным внутри аргумента является идея активного x пассивного вращения: вы можете либо думать, что активно вращаете всю вселенную в одну сторону, либо вращаете свои координаты в другую сторону. В конечном итоге вы используете не тривиальное представление$SO(3)$внутри координат, но обратное представление.

Если у вас есть скалярное поле, например, электрический потенциал (который является функцией$\phi:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R$), вы не ожидаете, что он изменит свое «значение» при повороте своих координат, но вы ожидаете, что изменится его аргумент. Таким образом, по этим физическим соображениям вы можете ожидать, что$\phi$изменяется как «скалярное поле», т.е.$\phi'(x ) = \phi(A^{-1}x)$.

Теперь представьте, что у вас есть (статическое) электрическое поле$\vec E : \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3$. Теперь мы ожидаем, что если вы повернете, вы не только измените свои аргументы, но и окажете некоторый «прямой эффект» на «само векторное поле». С$\vec E(\vec x) \in \mathbb R^3$, вы можете использовать те же «законы преобразования» (представления), которые вы используете для позиций или аргументов функций, воздействующих на электрическое поле. В конце концов, вы получите «закон преобразования векторных полей»:$(\Phi_v(A)\vec E)(\vec x) = A(\vec E(A^{-1}\vec x))$

Вы читаете приведенное выше уравнение следующим образом: «Чтобы преобразовать электрическое поле при вращении, вы сначала получаете свое положение, преобразуете его обратно, чтобы вы могли вычислить правильный аргумент, затем оцениваете электрическое поле в этой точке, и после этого вы вращаете электрическое поле. поле так же, как вы вращали бы обычные позиции (векторы)"

Теперь у вас есть почти вся необходимая информация, которая вам нужна. Теперь вспомните, что волновые функции — это комплексные скалярные поля, определенные в вашем физическом пространстве, с дополнительным свойством, заключающимся в том, что они «квадратично интегрируемы» (они имеют конечную норму). Вы выражаете это, говоря, что волновые функции являются членами множества$\{\psi:\mathbb R^3 \rightarrow \mathbb C | \int_{\mathbb R^3}\psi^*(x)\psi(x) d^3 x < \infty \}$который обозначается$L_2(\mathbb R^3,\mathbb C)$комплексных функций, интегрируемых с квадратом (по Лебегу).

Теперь вы хотите спросить, каковы возможные преобразования волновых функций. Поскольку у вас есть скалярные функции, вы ожидаете, что они преобразуются как скалярные поля:$(\Phi(A)\psi)(x) = \psi(A^{-1}x)$

Теперь все становится по-настоящему интересным, когда вы пытаетесь построить «многокомпонентную волновую функцию», которая представляла бы «внутренние степени свободы» ваших частиц. Для этого вы переходите от$L_2(\mathbb R^3,\mathbb C)$к$L_2(\mathbb R^3,\mathbb C^k)$чтобы иметь "внутреннее пространство"$\mathbb C^k$

Итак, вы снова возвращаетесь и спрашиваете: «как трансформируются эти вещи», или, думая иначе, «какими возможны пути трансформации этих вещей?», так как вы не обязаны устанавливать$k=3$, а если хорошенько подумать, то живешь на$\mathbb C^k$нет$\mathbb R^k$!

Поскольку вы уже обработали «изменение координат» (т. е. у вас есть то, что станет «орбитальной частью» углового момента), вам нужно спросить, что происходит с внутренним пространством.

Итак, вы хотите найти все «законы преобразования» (т. е. представления) объектов$\mathbb C^k$. Другими словами, вы хотите найти все представления$SO(3)$на$\mathbb C^k$. Обычно это (очень) трудная задача, поэтому, как правило, вы не беретесь за нее напрямую, но, в конце концов, вы обнаружите, что у вас будут только (честные) представления для$k = 2l+1$, с$l\in \mathbb Z$, что вы бы интерпретировали как «представление целочисленного спина» (хотя мы до сих пор не говорили слово «спин»!).

Итак, как мы находим представления$SO(3)$группа? Стандартный метод заключается в рассмотрении «бесконечно малых преобразований» группы вблизи начала координат (точнее, касательного пространства в единице группы). Эти бесконечно малые преобразования сами образуют векторное пространство с дополнительной операцией, называемой скобкой (Ли), которая в некотором роде является «произведением». Поскольку векторные пространства, снабженные произведениями, называются алгебрами, эти структуры называются алгебрами Ли .

Скобка Ли действует в точности как коммутатор (это можно уточнить ), а в случае матричных алгебр Ли (подобно алгебре Ли$SO(3)$), это в точности коммутатор обычного матричного произведения. Таким образом, вы можете говорить о «коммутационных соотношениях» элементов алгебры Ли.

Как и в случае с группами Ли, вы можете говорить о представлениях алгебр Ли , просто вместо сохранения операции групповой композиции она сохраняет операцию скобки лжи.

Обычно проще найти представления алгебры Ли, чем найти представление для исходной группы Ли, так как в первом случае вам «только» нужно найти операторы, которые могут действовать как образующие для образа представления, и если у них те же «коммутационные отношения», что и у исходной алгебры лжи, все, что вам нужно сделать, это определить соответствие и расширить по линейности.

Итак, как нам восстановить информацию об исходной группе на основе ее алгебры лжи?

Идея состоит в том, что вы можете построить (при некоторых условиях) представления для группы Ли на основе представлений алгебры Ли. Это делается путем «возведения в степень» (эта идея положить$U(\vec\theta)=e^{-\frac{i}{\hbar}\vec \theta \cdot \vec J}$) элементы алгебры Ли образуют элемент группы. В общих настройках это действует только локально.

Если вы попытаетесь найти представления группы Ли$SO(3)$(обозначается$\mathfrak{so}(3)$), что в точности является алгеброй$3\times 3$антисимметричных матриц, вы обнаружите, что они имеют представления во всех$\mathbb C^k$.

К сожалению (или нет), вы также обнаружите, что не можете восстановить аналогичное представление для$SO(3)$для четного k. Это связано с «двузначностью» представлений для четных k. Это «дополнительный коэффициент -1», который получает полуцелое вращение при полном$2\pi$вращения, а также «необходимость» в$4\pi$вращение, чтобы полностью вернуться к происхождению (идентичности).

Что вы в конечном итоге делаете, чтобы искать представления группы, которая фактически генерируется путем возведения в степень алгебры лжи, что в случае$SO(3)$является$SU(2)$. Поскольку локально они «по существу одинаковы» и для каждого элемента$SO(3)$есть 2 элемента$SU(2)$, последний называется двойным покрытием первого. Для четного k это «спинориальные представления».

Наконец, вы доказываете, что существует все представление$SU(2)$над любым$\mathbb C^k$, так что вы можете разместить как целое, так и полуцелое вращение, используя$SU(2)$в качестве вашей группы «действующей ротации». Вы можете сделать это, потому что вы можете восстановить вращения в евклидовом «физическом пространстве», используя его.

Чтобы восстановить идею спина, необходимо иметь способ «измерить» полный спин рассматриваемой частицы, что делается с помощью$S_x^2+S_y^2 + S_z^2 = S^2$. Итак, как интерпретировать этот объект?

Идея состоит в том, что это так называемый « инвариант Казимира » группы, и вы используете его для классификации всех (неприводимых) представлений вашей алгебры и, следовательно, вашей исходной группы. Таким образом, у вас есть почти вся «теория трехмерного вращения», построенная здесь.

Итак, отсюда вы можете понять мое первоначальное предложение: если вы хотите искать вращение в более высоком измерении, вы начинаете с пространства положения в более высоком измерении.$E=\mathbb R^n$, и повторите те же вопросы, которые я разработал здесь:

1) обычный евклидов внутренний продукт$<x,y>= \sum_{i=1}^n x_iy_i$, и поэтому группы, которые сохраняют его, а также сохраняют ориентацию ($\det A=1$) называется$SO(n)$

2) пространство k-компонентных волновых функций есть$H=L_2(\mathbb R^n,\mathbb C^k)$и вы пытаетесь найти представителей$SO(n)$над Х.

3) покрывающая группа$SO(n)$называется спиновой группой Spin(n)

Я верю, что можно найти неприводимые представления Spin(n) для всех k, но я подтвержу это позже. Будучи возможным, это делает возможной интерпретацию, подобную обычному трехмерному вращению. Как кто-то упомянул здесь или в другой теме, есть Книга Картана как хороший справочник по этому вопросу. Остальное в моем первоначальном ответе.

Прежде всего, я хочу отметить, что, по крайней мере в трехмерном случае, утверждение, которое мы налагаем на некоторые импульсоподобные коммутирующие операторы$S_i$Соотношение$S_x^2+S_y^2+S_z^2=S(S+1)I$является более или менее тавтологичным, так как в общем случае из коммутационных соотношений следует, что RHS можно привести (путем замены базиса) к блочно-диагональному виду, где каждый блок имеет именно тот вид, который вам нужен.

В случае 3D ваше требование почти означает несводимость представления$SO(3)$для которого$S_i$являются образующими (однако я все же могу рассмотреть приводимое представление$3\oplus3$, где$2$является обычным трехмерным векторным представлением со спином 1, для которого ваше уравнение с суммой квадратов остается в силе). Я считаю, что в более высоких измерениях это не имеет хорошей математической интерпретации. В нем говорится, что вы фиксируете значение квадратичного казимира, но есть и другие казимиры, так что, похоже, вы даже можете смешивать разные неприводимые представления в одно приводимое. Однако здесь я не уверен, так что кто-то может меня поправить.

Тем не менее, вы спрашиваете о нахождении множества операторов с коммутационными соотношениями$so(n)$которые допускают конкретное уравнение. Это уравнение в основном фиксирует значение так называемого квадратичного казимира. Поэтому, благодаря хорошим свойствам$so(n)$(простота и т. д.), я считаю, что ответ таков: найти все неприводимые повторения$so(n)$и выберите прямую сумму повторений с тем же значением квадратичного казимира .

Тем не менее, это все было более или менее о вашем уравнении$S_x^2+S_y^2+S_z^2=S(S+1)I$и его обобщения. На самом деле, я не знаю, коммутирует ли ваш обобщенный lhs со всеми образующими, но это вероятно (если нет, то, поскольку rhs является прото-тождеством, это не имеет смысла, и вы должны думать, что это казимир в вашей основе).

Теперь о сути вопроса — физическом понятии спина в высших измерениях. Спин и, в более общем смысле, полный угловой момент — это, в некотором смысле, правило, которое говорит вам, как преобразовывать волновую функцию при вращении. По сути, это возникает из-за того, что вам нужно знать, как преобразовывать волновую функцию. Так что в целом вы снова подвели к рассмотрению неуменьшаемых повторений ротационной группы.$SO(N)$.

$SO(N)$имеет множество представлений, но для спин-$1/2$обычно выбирают алгебру Клиффорда$Cl(N)$и строит представление Дирака (которое в некотором смысле фундаментально для Spin(N)).$Cl(N)$задается набором образующих$\gamma_i$которые подчиняются соотношению:

$$\{\gamma_i,\gamma_j\}=2\delta_{ij}$$ то генераторы вращений (нужно добавить $i$для получения эрмитовых спиновых операторов): $$\Sigma_{ij}=\frac{[\gamma_i,\gamma_j]}{4}$$ Например, в 3D вы можете выбрать $\gamma_i=\sigma_i$матрицы Паули. В 4D хорошо известны обычные матрицы Дирака. В общем, для $N=2k+1$есть представительство $Cl(N)$к $2^k\times2^k$матрицы.