Позвольте мне сначала напомнить вам (или, возможно, познакомить) с несколькими аспектами квантовой механики в целом как модели физических систем. Мне кажется, что на многие из ваших вопросов можно ответить, если лучше понять эти общие аспекты, а затем обратиться к тому, как возникают спиновые системы как частный случай.

Общие замечания о квантовых состояниях и измерениях.

Состояние квантовой системы моделируется как элемент единичной длины$|\psi\rangle$комплексного гильбертова пространства$\mathcal H$, особый вид векторного пространства со скалярным произведением. Каждая наблюдаемая величина (например, импульс или спин), связанная с такой системой, значение которой можно было бы измерить, представлена ​​самосопряженным оператором$O$на этом пространстве. Если построить устройство для измерения такой наблюдаемой и использовать это устройство для измерения этой наблюдаемой в системе, то машина выдаст собственное значение$\lambda$того наблюдаемого. Кроме того, если система находится в состоянии$|\psi\rangle$, то вероятность того, что результатом измерения этой величины будет собственное значение наблюдаемой, равна

$$\begin{align} p(\lambda) = |\langle \lambda|\psi\rangle|^2 \end{align}$$ куда $|\lambda\rangle$- нормированный собственный вектор, соответствующий собственному значению $\lambda$.

Специализация на спин-системах.

Предположим теперь, что рассматриваемая нами система состоит из спина частицы. Гильбертово пространство, моделирующее спиновое состояние системы со спином$s$это$2s+1$размерное гильбертово пространство. Элементы этого векторного пространства часто называют «спинорами», но пусть это вас не смущает, они такие же, как и любой другой вектор в гильбертовом пространстве, задачей которого является моделирование квантового состояния системы.

Первичными наблюдаемыми, измерение которых обычно обсуждается для спиновых систем, являются декартовы компоненты спина системы. Другими словами, есть три самосопряженных оператора, которые условно называют$S_x, S_y, S_z$чьи собственные значения являются возможными значениями, которые можно получить, если измерить один из этих компонентов спина системы. Спектр (набор собственных значений) каждого из этих операторов одинаков. Для системы спина$s$, каждый из их спектров состоит из следующих значений:

$$\begin{align} \sigma(S_i) = \{m_i\hbar\,|\, m_i=-s,-s+1,\dots, s-1,s\} \end{align}$$ где в моих обозначениях $i=x,y,z$. Так, например, если вы создадите машину для измерения $z$компонент спина спин- $1$системе, то машина выдаст одно из значений в наборе $\{-\hbar, 0, \hbar\}$каждый раз. Каждому из этих собственных значений соответствует каждый оператор компоненты спина, который имеет нормализованный собственный вектор $|S_i, m_i\rangle$. Как указано в общих замечаниях выше, если состояние системы равно $|\psi\rangle$, и нужно знать вероятность того, что измерение спиновой компоненты $S_i$даст определенное значение $m_i\hbar$, то просто вычисляется $$\begin{align} |\langle S_i, m_i |\psi\rangle|^2. \end{align}$$ Например, если система имеет спин- $1$, и если кто-то хочет знать вероятность того, что измерение $S_y$даст собственное значение $-\hbar$, то вычисляется $$\begin{align} |\langle S_y, -1|\psi\rangle|^2 \end{align}$$

Спиноры.

В приведенном выше контексте спиноры — это просто матричные представления состояний конкретной спиновой системы в некотором упорядоченном базисе, а спиновые матрицы Паули — это, с точностью до нормализации, матричные представления операторов спиновых компонент в этом базисе специально для система со спин-$1/2$. Матричные представления часто облегчают вычисления и концептуальное понимание, поэтому мы их и используем.

Точнее, предположим, что рассматривается спин-$1/2$система, и каждый выбирает представление состояний и наблюдаемых в основе$B =(|S_z, -1/2\rangle, |S_z, 1/2\rangle)$состоящая из нормированных собственных векторов$z$компонента спина, то в этом базисе можно было бы найти следующие матричные представления

$$\begin{align} [S_x]_B &= \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{2}\sigma_x\\ [S_y]_B &= \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} = \frac{\hbar}{2}\sigma_y\\ [S_z]_B &= \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} =\frac{\hbar}{2}\sigma_z\\ \end{align}$$ Обратите внимание, что эти представления являются в точности матрицами Паули с точностью до $\hbar/2$фактор. Более того, каждое состояние системы будет представлено $2\times 1$матрица, или «спинор» $$\begin{align} [|\psi\rangle]_B = \begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix}. \end{align}$$ И можно было бы использовать эти представления для выполнения упомянутых выше вычислений.

Группы — это абстрактные математические структуры, определяемые своей топологией (в случае континуальных групп Ли) и операцией умножения.

Но говорить об абстрактных группах почти невозможно. Поэтому обычно элементы групп отображаются в линейные операторы, действующие в некотором векторном пространстве$V$:

$$g \in G \rightarrow \rho(g) \in \text{End}(V),$$

где G - группа,$\text{End}(V)$обозначает эндоморфизмы (линейные операторы) на$V$, а также$\rho(g)$это отображение. Чтобы это отображение имело смысл, мы должны правильно отобразить групповое умножение:

$$\rho(g_1 \circ g_2) = \rho(g1) \cdot \rho(g2).$$

Обратное также отображается на

$$\rho(g^{-1}) = \rho(g)^{-1}$$

и групповая идентичность просто

$$\rho(e) = \text{Id}_V.$$

Это называется представлением группы$G$.$V$преобразуется по представлению$\rho$группы$G$.

В вашем случае интересующей группой является группа вращений в трех измерениях, которая обычно обозначается как SO (3). Наша цель — найти различные объекты, которые можно вращать, т. е. представления (и пространства представлений) SO(3).

Одним из таких представлений является определяющее представление (которое используется для определения SO(3)) или векторное представление. В таком случае$V$просто$R^3$и матрицы из$\rho(\text{SO(3)})$ортогональны$3\times 3$матрицы с единичным определителем:

$$A^{T} A = 1;\quad \det A = 1$$

Таким образом, векторы можно вращать в трех измерениях. Результат такого вращения на$g \in \text{SO(3)}$определяется действием на исходный вектор оператором$\rho(g)$.

Другим представлением является спинорное представление. Векторное пространство теперь двумерное и комплексное . Образ этого представления состоит из унитарных$2\times 2$с единичным определителем:

$$A^{\dagger} A = 1;\quad \det A = 1.$$

Это представление не столь очевидно, как предыдущее, поскольку спиноры — это то, что мы обычно не видим в повседневной жизни. Но можно математически доказать, что эти представления изоморфны и, следовательно, являются двумя разными представлениями одной и той же группы (на самом деле они гомоморфны, а спинорное представление является двойным накрытием векторного представления).

Теперь о матрицах Паули. Существует общий принцип: для каждой группы Ли$G$существует соответствующее линейное пространство (алгебра Ли) со скобкой Ли (антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби), которое однозначно отображается в некоторую окрестность группового единства$G$. Это отображение называется экспоненциальным.

Таким образом, вы можете написать произвольное (достаточно близкое к единице, чтобы избежать глобальных топологических проблем)$2\times 2$комплексная матрица из спинорного представления в виде

$$A = \exp \left[ \frac{i}{2} \alpha^a \sigma_a \right],$$

куда$\alpha^a$три числа, которые параметризуют элемент группы, представление которого$A$, а также$\frac{i}{2} \sigma_a$являются базисом алгебры Ли, с$\sigma_a$- 3$2\times 2$Матрицы Паули. Это уравнение в значительной степени определяет, как спинор трансформируется при произвольном вращении.

В векторном представлении также присутствует базис алгебры Ли, который состоит из 3$3\times 3$матрицы.

Есть еще две интерпретации матриц Паули, которые могут оказаться полезными, но только после того, как вы поймете прекрасное физическое описание, данное Джошем Физикой . Следующее может быть воспринято скорее как «причудливые мелочи» (по крайней мере, я нахожу их интересными) о матрицах Паули, а не как физическая интерпретация.

1. В качестве основы для$\mathfrak{su}(2)$

Первая интерпретация по-разному рассматривается как (i) они представляют собой единичные кватернионы по модулю смены знака и переупорядочения математического определения этих зверей , (ii) как основу для алгебры Ли.$\mathfrak{su}(2)$из$SU(2)$когда мы используем экспоненциальную матрицу для восстановления группы$SU(2) = \exp(\mathfrak{su}(2))$посредством (iii) трехмерного обобщения теоремы Муавра .

Генерал, бесследный,$2\times2$косая эрмитова матрица$H$можно однозначно разложить как:

$$H = \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z\tag{1}$$

с$\alpha_x,\,\alpha_y,\,\alpha_z\in \mathbb{R}$. Эта матрица удовлетворяет характеристическому уравнению$H^2 = -\frac{\theta^2}{4}\,\mathrm{id}$, куда$\mathrm{id}$это$2\times2$личность и$\frac{\theta}{2} = \sqrt{\alpha_x^2+\alpha_y^2+\alpha_z^2}$. Итак, если мы развернем универсально сходящийся матричный экспоненциальный ряд Тейлора, а затем уменьшим все степени$H$выше линейного члена с характеристическим уравнением, получаем:

$$\exp\left(H\right) = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\mathrm{id} + \hat{H}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\tag{2}$$

что рассматривается как обобщение формулы де Муавра для «чисто мнимой» единицы.

$$\hat{H} = \frac{\alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{\sqrt{\alpha_x^2+\alpha_y^2+\alpha_z^2}}\tag{3}$$

и все члены$SU(2)$может быть реализована экспонентой, такой как в (2) (но помните, что экспонента алгебры Ли, хотя вся$SU(2)$в этом случае не всегда вся группа Ли, если последняя не является (i) связной и (ii) компактной). Таким образом, каждый член$SU(2)$может быть разложена как «суперпозиция единичной длины матриц Паули и единичной матрицы.

Причина фактора 2 в определении$\theta/2$до сих пор остается загадочным: засвидетельствуйте, что для целей вышеизложенного мы могли бы так же легко заменить$\theta/2$по$\theta$. Причина связана с отношениями между матрицами Паули и небесной сферой, о которых я расскажу позже. Кватернионы представляют повороты через спинорную карту ( НО , как советует Джошфизик, не слишком отвлекайтесь на это слово); если вектор в трехмерном пространстве представлен чисто мнимым кватернионом вида$x\,\sigma_x+y\,\sigma_y+z\,\sigma_z$, то его изображение при повороте на угол$\theta$вокруг оси с направляющими косинусами$\gamma_x,\,\gamma_y,\,\gamma_z$дан кем-то:

$$x\,\sigma_x+y\,\sigma_y+z\,\sigma_z \mapsto U\,(x\,\sigma_x+y\,\sigma_y+z\,\sigma_z)\,U^\dagger;\quad U=\exp\left(\frac{\theta}{2}(\gamma_x\,\sigma_x+\gamma_y\,\sigma_y+\gamma_z\,\sigma_z)\right) \tag{4}$$

Эта спинорная карта является примером группы$SU(2)$действующий на своей собственной алгебре Ли через присоединенное представление. Интуитивно это можно понять с точки зрения правила треугольника для разработки композиций двух вращений, как показано на моей диаграмме ниже. Дуги на единичной сфере представляют собой поворот на угол, в два раза превышающий угол, образуемый дугой в начале координат.

Я подробно объясняю это в примере 1.4».$2\times2$Унитарная группа$SU(2)$" на моей веб-странице "Некоторые примеры связанных групп лжи" здесь .

Также есть моя интерактивная демонстрация Mathematica "The$SU(2)$Спинорная карта: композиция вращения с помощью графических кватернионных треугольников» на сайте Wolfram Demonstrations .

2. Небесная сфера

Расширяя трехмерное линейное пространство суперпозиций матриц Паули (которое совпадает с линейным пространством бесследовых $2\times2$косоэрмитовых матриц) в 4-мерное пространство, натянутое матрицами Паули и единичными матрицами, то любое преобразование из группы$SL(2,\,\mathbb{C})$действует на векторы вида$t\,\mathrm{id}+x\,\sigma_x + y\, \sigma_y + z\,\sigma_z$тем же спинорным отображением, что и в (4). Если ограничиться проективными лучами в этом пространстве, то группа$SL(2,\,\mathbb{C})$, изоморфная группе Мёбиуса преобразований Мёбиуса , действует на это пространство лучей точно так же, как преобразования Мёбиуса (дробно-линейные) действуют на сферу Римана.$SL(2,\,\mathbb{C})$является двойным покрытием группы Лоренца, и вы можете рассчитать, как меняется взгляд космонавта, когда он претерпевает преобразования Лоренца. Подробнее см. В разделе «Преобразования Лоренца» на странице Википедии «Преобразование Мёбиуса» .

Общее механическое объяснение. Поля и волны подчиняются гиперболическим уравнениям (волновым уравнениям). Они представляют продвижение в пространстве и времени и, как таковые, не могут представлять массу, которая должна быть неподвижной, но также может вращаться. Для такого движения необходимо эллиптическое уравнение. Например, уравнение Клайна-Гордона является гиперболическим, тогда как уравнение Дирака является эллиптическим. В текущих жидкостях есть параллельный пример. Вихри и турбулентность не могут образовываться без помощи границы – для отклонения потока от наступательного состояния к циркуляционному. Первая область гиперболическая, а вторая эллиптическая.

Теперь, чтобы создать частицу (вращающуюся энергию) из поля (движущегося в определенном положении), нам нужно отклонить/повернуть направление поля. Здесь на помощь приходят матрицы Паули, которые дают требуемую эллиптичность. Вот почему используются мнимые числа/вращение. Умножение величины на i поворачивает ее на 90 градусов, для общего угла мы используем экспоненту мнимой величины.

Позже, когда мы смешаем лагранжианы волн и частиц в более общей модели, мы вернемся к использованию бозона Хиггса для выполнения той же работы по преобразованию одного типа энергии в другой, то есть от полей к частицам и наоборот.