Представление Spin 3232\frac{3}{2} в книге Джорджи?

Question

Представление Spin 3232\frac{3}{2} в книге Джорджи?

пользователь12029

В книге Джорджи «Алгебры Ли в физике элементарных частиц» в уравнении 3.32 перечислены спиновые операторы в спине. $\frac{3}{2}$ представление как:

{Дж}_{1} "=" (\begin{array}{cccc} 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} \\ 0 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \end{array})

$J_1=\left( \begin{array}{cccc} 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} \\ 0 & 0 & \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \\ \end{array} \right)$

{Дж}_{2} "=" (\begin{array}{cccc} 0 & - я \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ я \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & - я 2 & 0 \\ 0 & я 2 & 0 & - я \sqrt{\frac{3}{2}} \\ 0 & 0 & я \sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \end{array})

$J_2=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -i\sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ i\sqrt{\frac{3}{2}} & 0 & -i2 & 0 \\ 0 & i2 & 0 & -i\sqrt{\frac{3}{2}} \\ 0 & 0 & i\sqrt{\frac{3}{2}} & 0 \\ \end{array} \right)$

{Дж}_{3} "=" (\begin{array}{cccc} \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{3}{2} \end{array})

$J_3=\left( \begin{array}{cccc} \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} \\ \end{array} \right)$

но коммутаторы, кажется, не работают $[J_1,J_2]\neq i J_3$ . Что дает?

Я написал следующую команду Mathematica j[n,s] для создания матрицы n=1,2 или 3 spin s. Он генерирует матрицы Паули и спин $1$ матрицы правильно, но не соответствует $3/2$ представитель в книге Джорджи.

j[3,s_/;IntegerQ[2s+1]&&s>0]:=SparseArray[Band[{1,1}]->Table[i,{i,s,-s,-1}],2s+1];
jplus[s_/;IntegerQ[2s+1]]:=SparseArray[Band[{1,2}]->Table[Sqrt[(s+1+m)(s-m)/2],{m,s-1,-s,-1}],2s+1];
jminus[s_/;IntegerQ[2s+1]]:=SparseArray[Band[{2,1}]->Table[Sqrt[(s+m)(s-m+1)/2],{m,s,1-s,-1}],2s+1];
j[1,s_/;IntegerQ[2s+1]]:=(jplus[s]+jminus[s])/Sqrt[2];
j[2,s_/;IntegerQ[2s+1]]:=(jplus[s]-jminus[s])/(I Sqrt[2]);

Ответы (1)

Представление Spin 3232\frac{3}{2} в книге Джорджи?

пользователь12029 · Answer 1

В уравнении книги есть опечатка, и, похоже, нет легкодоступной онлайн-ошибки. Если следовать формулам, которые книга дает для $J_\pm$ :

{Дж}_{+} "=" \frac{1}{\sqrt{2}} ({Дж}_{1} + я {Дж}_{2})

$J_+=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(J_1+i J_2\right)$

{Дж}_{-} "=" \frac{1}{\sqrt{2}} ({Дж}_{1} - я {Дж}_{2})

$J_-=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(J_1-i J_2\right)$

{Дж}_{-, м^{'} м} \frac{\sqrt{(с - м) (м + с + 1)} {дельта}_{м + 1, м^{'}}}{\sqrt{2}}

$J_{-,m'm}\frac{\sqrt{\left(s-m\right) \left(m+s+1\right)} \delta _{m+1,m'}}{\sqrt{2}}$

{Дж}_{+, м^{'} м} \frac{\sqrt{(с + м) (с - м + 1)} {дельта}_{м - 1, м^{'}}}{\sqrt{2}}

$J_{+,m'm}\frac{\sqrt{\left(s+m\right) \left(s-m+1\right)} \delta _{m-1,m'}}{\sqrt{2}}$

находит:

{Дж}_{1} "=" (\begin{array}{cccc} 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \end{array})

$J_1=\left( \begin{array}{cccc} 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \end{array} \right)$

{Дж}_{2} "=" (\begin{array}{cccc} 0 & - \frac{1}{2} (я \sqrt{3}) & 0 & 0 \\ \frac{я \sqrt{3}}{2} & 0 & - я & 0 \\ 0 & я & 0 & - \frac{1}{2} (я \sqrt{3}) \\ 0 & 0 & \frac{я \sqrt{3}}{2} & 0 \end{array})

$J_2=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -\frac{1}{2} \left(i \sqrt{3}\right) & 0 & 0 \\ \frac{i \sqrt{3}}{2} & 0 & -i & 0 \\ 0 & i & 0 & -\frac{1}{2} \left(i \sqrt{3}\right) \\ 0 & 0 & \frac{i \sqrt{3}}{2} & 0 \\ \end{array} \right)$

{Дж}_{3} "=" (\begin{array}{cccc} \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - \frac{3}{2} \end{array})

$J_3=\left( \begin{array}{cccc} \frac{3}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} \\ \end{array} \right)$

Представление Spin 3232\frac{3}{2} в книге Джорджи?

пользователь12029

Ответы (1)

пользователь12029

Квантово-механический угловой момент и формализм/обозначения спина

Спин, орбитальный угловой момент и полный угловой момент

Проблема с подсчетом спиновых состояний

Тождество матриц Паули

Можем ли мы в квантовой механике (КМ) определить многомерный «спиновый» угловой момент, отличный от обычного трехмерного?

Что означают матрицы Паули?

Почему значение спина ±1/2±1/2\pm 1/2?

Как использовать коэффициенты Клебша-Гордана для 3 частиц?

Спиновые операторы в QM

Спиновые коммутационные соотношения