Почему зона Бриллюэна является двумерным тором?

Отображение зоны Бриллюэна в сферу не может быть непрерывным и обратимым (т. е. гомеоморфизмом), поскольку непрерывные обратимые отображения сохраняют топологические свойства, а тор и сфера топологически различны.

Точнее говоря, 2-сфера просто связана, а это означает, что любую кривую, нарисованную на поверхности, можно сжать в точку, не выходя за пределы поверхности. Иногда об этом небрежно говорят: «Баскетбольный мяч нельзя заарканить». С другой стороны, двумерный тор не является односвязным. Если вы завяжете веревку вокруг малой оси (пропустив ее через центр пончика), то вы не сможете уменьшить ее; то же самое верно и для длинной оси.

Чтобы быть немного менее абстрактным, если вы начертите BZ в виде прямоугольника в$(k_x,k_y)$плоскости, утверждение, что это тор, означает, что мы отождествляем каждую точку на левой стороне прямоугольника с соответствующей точкой на правой стороне и каждую точку внизу с соответствующей точкой наверху. Это отражает тот факт, что точки на левом и правом краях отличаются на$\Delta k = \frac{2\pi}{a}$, и поэтому являются одной и той же точкой с точки зрения теоремы Блоха.

С другой стороны, утверждение, что BZ является сферой , означало бы, что мы идентифицируем всю границу как единую точку . То есть каждый пункт в БЖ вида$(k_x, \pm \frac{\pi}{a})$или$(\pm \frac{\pi}{a},k_y)$будут считаться физически идентичными. Но это не та идентификация, которую мы хотим, потому что, например, точки$(\frac{\pi}{a},0)$и$(0,\frac{\pi}{a})$должны представлять разные волновые векторы.

Подводя итог, мы подталкиваем теорему Блоха к отождествлению точек на каждом ребре ЗБ с точками на противоположном ребре (но без дополнительных отождествлений). Это уже указывает, что BZ гомеоморфна тору. На другой закрытой поверхности были бы разные точки, отождествленные друг с другом, но это, во-первых, противоречило бы физической мотивации идентификации разных волновых векторов.