Покажите, что это действие инвариантно относительно преобразования симметрии.

Постановка вопроса

Рассмотрим следующий лагранжиан для классической системы:

л ( Икс , Икс ˙ ) "=" 1 2 м Икс ˙ 2 − α Икс 2
Покажите, что действие инвариантно относительно следующих преобразований симметрии:
{ т ′ "=" а т + б с т + г Икс ′ "=" 1 с т + г Икс
С Дет ( а б с г ) "=" 1.

Попытка решения

т ′ "=" а т + б с т + г ⟹ г т ′ "=" 1 ( с т + г ) 2 г т
Икс ′ "=" 1 с т + г Икс ⟹ г Икс ′ "=" 1 с т + г г Икс
Использование обоих этих отношений дает:
⟹ г Икс ′ г т ′ "=" Икс ˙ ′ "=" ( с т + г ) Икс ˙
Так,

С ′ ( Икс ′ , Икс ˙ ′ ) "=" ∫ т 1 ′ т 2 ′ г т ′ л ( Икс ′ , Икс ˙ ′ ) "=" ∫ т 1 ′ т 2 ′ г т ′ { 1 2 м ( Икс ˙ ′ ) 2 − α Икс ′ 2 } "=" ∫ т 1 ′ т 2 ′ 1 ( с т + г ) 2 г т { 1 2 м ( с т + г ) 2 Икс ˙ 2 − ( с т + г ) 2 α Икс 2 } "=" ∫ т 1 ′ т 2 ′ г т { 1 2 м Икс ˙ 2 − α Икс 2 } "=" ∫ т 1 ′ т 2 ′ г т   л ( Икс , Икс ˙ )

Это почти в правильной форме, за исключением ограничений по времени в интеграле. Я, вероятно, упускаю что-то совершенно очевидное, но я просто не могу думать об этом прямо сейчас, надеюсь, кто-то может указать мне на это.

Просто, когда я изменил интегрирующую переменную с т ′ → т соответственно меняются и границы?

Ответы (1)

Вы ничего не упускаете, ваше решение идеально.

Нет необходимости, чтобы границы имели одинаковые числовые значения. В любое время т трансформируется, как и границы.

Важно то, что значение действия не меняется (конечно, если вы не забыли настроить границы). Также обратите внимание, что это не влияет на уравнения движения.

А, я знал, что это было что-то очевидное. То есть технически, начиная с третьей строки и ниже, я должен иметь нештрихованные времена в границах интеграла?
@NormalsNotFar ага
Покажите, что это действие инвариантно относительно преобразования симметрии.
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v