Доказательство теоремы Нётер в классической механике

Question

Доказательство теоремы Нётер в классической механике

пользователь35305

Я пытаюсь доказать теорему Нётер в контексте классической механики (точечных частиц), однако я немного не уверен в некоторых вещах.

Чтобы все было как можно проще, я рассматриваю только одномерный случай. Таким образом, я начинаю с полной вариации пути

\begin{matrix} (0,1) & \begin{aligned} д (т) \to д^{'} (т^{'}) & "=" д^{'} (т) + {\dot{д}}^{'} (т) дельта т "=" д (т) + дельта д (т) + \dot{д} (т) дельта т \\ \dot{д} (т) \to {\dot{д}}^{'} (т^{'}) & "=" {\dot{д}}^{'} (т) + {\ddot{д}}^{'} (т) дельта т "=" \dot{д} (т) + дельта \dot{д} (т) + \ddot{д} (т) дельта т, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}q(t)\rightarrow q'(t')&=q'(t)+\dot{q}'(t)\delta t=q(t)+\delta q(t)+\dot{q}(t)\delta t\\ \\ \dot{q}(t)\rightarrow \dot{q}'(t')&=\dot{q}'(t)+\ddot{q}'(t)\delta t=\dot{q}(t)+\delta\dot{q}(t)+\ddot{q}(t)\delta t,\end{align}\tag{0.1}$ на первое место в

δ t

$\delta t$ . Это приводит к следующим вариациям (до первого порядка)

\begin{matrix} (0,2) & \begin{aligned} {дельта}_{_{Т}} д & "=" д^{'} (т^{'}) - д (т) "=" дельта д (т) + \dot{д} (т) дельта т \\ {дельта}_{_{Т}} \dot{д} & "=" {\dot{д}}^{'} (т^{'}) - \dot{д} (т) "=" дельта \dot{д} (т) + \ddot{д} (т) дельта т, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\delta_{_{T}}q&=q'(t')-q(t)=\delta q(t) +\dot{q}(t)\delta t\\ \\ \delta_{_{T}}\dot{q}&=\dot{q}'(t')-\dot{q}(t)=\delta\dot{q}(t)+\ddot{q}(t)\delta t,\end{align}\tag{0.2}$ где индекс

T

$T$ чтобы напомнить нам, что мы деформируем время,

t \to t + δ t

$t\rightarrow t+\delta t$ а также путь (так называемая «общая» или «полная» вариация). Теперь, предполагая, что это симметрия классического действия

\begin{matrix} (1) & С [д (т)] "=" \int г т л (д (т), \dot{д} (т), т) \end{matrix}

$S[q(t)]=\int dt\,L\left(q(t),\dot{q}(t),t\right)\tag{1}$ у нас есть это

(1)

$(1)$ изменяется не более чем на поверхностный член, т.е.

\begin{matrix} (2) & {дельта}_{_{Т}} С "=" \int г т \frac{г}{г т} г (д (т), т) \end{matrix}

$\delta_{_{T}}S=\int dt\,\frac{d}{dt}G\left(q(t),t\right)\tag{2}$ Теперь левая сторона

(2)

$(2)$ дан кем-то

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} {дельта}_{_{Т}} С & "=" \int {дельта}_{_{Т}} (г т) л + \int г т {дельта}_{_{Т}} (л) "=" \int г т \frac{г (дельта т)}{г т} л + \int г т [\frac{\partial л}{\partial д} {дельта}_{_{Т}} д + \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} {дельта}_{_{Т}} \dot{д} + \frac{\partial л}{\partial т} дельта т] \\ "=" \int г т \frac{г (дельта т)}{г т} л + \int г т [\frac{\partial л}{\partial д} (дельта д (т) + \dot{д} (т) дельта т) + \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} (дельта \dot{д} (т) + \ddot{д} (т) дельта т) + \frac{\partial л}{\partial т} дельта т] \\ "=" \int г т [(\frac{\partial л}{\partial д} - \frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{д}})) дельта д + (\frac{\partial л}{\partial д} \dot{д} + \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} \ddot{д} + \frac{\partial л}{\partial т}) дельта т + \frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{д}} дельта д) + л \frac{г (дельта т)}{г т}] \\ "=" \int г т [(\frac{\partial л}{\partial д} - \frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{д}})) дельта д + \frac{г л}{г т} дельта т + \frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{д}} дельта д) + л \frac{г (дельта т)}{г т}] \\ "=" \int г т [(\frac{\partial л}{\partial д} - \frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{д}})) дельта д + \frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{д}} дельта д + л дельта т)] \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\delta_{_{T}}S&=\int\delta_{_{T}}(dt)\,L+\int dt\,\delta_{_{T}}(L)=\int dt\frac{d(\delta t)}{dt}\,L+\int dt\,\left[\frac{\partial L}{\partial q}\delta_{_{T}}q +\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta_{_{T}}\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}\delta t\right]\\&=\int dt\frac{d(\delta t)}{dt}\,L+\int dt\,\left[\frac{\partial L}{\partial q}\Big(\delta q(t) +\dot{q}(t)\delta t\Big) +\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\Big(\delta\dot{q}(t) +\ddot{q}(t)\delta t\Big)+\frac{\partial L}{\partial t}\delta t\right]\\&=\int dt\,\left[\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\right)\delta q +\left(\frac{\partial L}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\ddot{q}+\frac{\partial L}{\partial t}\right)\delta t+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q\right)+L\frac{d(\delta t)}{dt}\right]\\&=\int dt\,\left[\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\right)\delta q +\frac{dL}{dt}\delta t+\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q\right)+L\frac{d(\delta t)}{dt}\right]\\&=\int dt\,\left[\left(\frac{\partial L}{\partial q}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)\right)\delta q +\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t\right)\right]\end{align}\tag{3}$ При условии, что

q (t)

$q(t)$ удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа, то имеем

\begin{matrix} (4) & {дельта}_{_{Т}} С "=" \int г т [\frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{д}} дельта д + л дельта т)] "=" \int г т \frac{г}{г т} г (д (т), т) \end{matrix}

$\delta_{_{T}}S=\int dt\,\left[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t\right)\right]=\int dt\,\frac{d}{dt}G\left(q(t),t\right)\tag{4}$ что подразумевает, что

\begin{matrix} (5) & \int г т \frac{г}{г т} (\frac{\partial л}{\partial \dot{д}} дельта д + л дельта т - г) "=" 0 \Rightarrow \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} дельта д + л дельта т - г "=" постоянный \end{matrix}

$\int dt\,\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t-G\right)=0\qquad\Rightarrow\qquad\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t-G=\text{constant}\tag{5}$ То есть количество:

\begin{matrix} (6) & Λ (д (т), \dot{д} (т), т) "=" \frac{\partial л}{\partial \dot{д}} дельта д + л дельта т - г, \end{matrix}

$\Lambda\big(q(t),\dot{q}(t),t\big)=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\delta q +L\delta t-G,\tag{6}$ есть постоянная движения .

Однако у меня есть некоторые сомнения относительно того, что я сделал до сих пор, и это заставило меня задать следующие вопросы:

$1.$ Использовал ли я изначально правильную общую вариацию пути?

$2.$ Если я использовал правильный вариант, правильные ли шаги в доказательстве?

$3.$ Моя первоначальная мотивация попытаться воспроизвести доказательство теоремы Нётер заключалась в том, чтобы доказать сохранение энергии как следствие переноса времени. По-видимому, в этом случае предполагается, что полная вариация обращается в нуль, т. е.

\begin{matrix} (7) & {дельта}_{_{Т}} д "=" д^{'} (т^{'}) - д (т) "=" 0 \end{matrix}

$\delta_{_{T}}q=q'(t')-q(t)=0\tag{7}$ (см. ответ QMechanic здесь ). Почему это так? Каково оправдание?

Я понимаю, что этот тип вопроса задавался ранее несколько раз, но, прочитав сообщения, которые я смог найти, я не обнаружил, что какой-либо из них полностью ответил на мои вопросы. Любая помощь будет высоко ценится.

пользователь35305

Я отредактировал свой вопрос, чтобы отразить предложения Qmechanic, и попытался получить более общее доказательство теоремы Нётер.

Ответы (1)

Доказательство теоремы Нётер в классической механике

Я отредактировал свой вопрос, чтобы отразить предложения Qmechanic, и попытался получить более общее доказательство теоремы Нётер.

Qмеханик · Answer 1

Сообщение ОП, похоже, имеет двойную цель:

Докажите теорему Нётер (NT) в целом: тогда предположения ОП о том, что
- (я) $L$ не имеет явной зависимости от времени и
- (ii) $\delta t$ не зависит от $t$
следует удалить. Пример, который нарушает предположение (ii), см., например, в этой публикации Phys.SE.

Также обратите внимание на тонкость, $\delta_T$ и $\frac{d}{dt}$ не коммутируйте, что, по-видимому , предполагает OP в уравнении. (3).
Докажите с помощью NT, что лагранжиан без явной зависимости от времени приводит к сохранению энергии: в этом случае естественно попробовать преобразование
$д^{'} (т^{'}) "=" д (т)$ $q^{\prime}(t^{\prime})~=~q(t)$ для обеспечения симметрии действия $С [т \mapsto д (т)] "=" С [т^{'} \mapsto д^{'} (т^{'})],$ $S[t\mapsto q(t)]~=~ S[t^{\prime}\mapsto q^{\prime}(t^{\prime})],$ который затем может быть использован в Новом Завете, ср. этот пост Phys.SE.

Спасибо за ваш ответ. В идеале я хотел бы доказать это в общем, но я не совсем знал, как это сделать, поэтому пока я ограничился отсутствием явной временной зависимости в лагранжиане и $\delta t$ не зависит от времени. Кроме того, почему естественно пытаться $q'(t')=q(t)$ в случае перевода времени? Не потому ли, что определяют, что координаты изменяются как $q'(t)=q(t+\delta t)$ при переводе времени, и тогда можно просто сделать замену переменных, $t\rightarrow t-\delta t$ такой, что $q'(t')=q(t)$ ?
Я обновил свой ОП, чтобы отразить предложенные вами изменения.

Доказательство теоремы Нётер в классической механике

пользователь35305

пользователь35305

Ответы (1)

Qмеханик

пользователь35305

пользователь35305

Задача с использованием теоремы Нётер в нестационарном лагранжиане

Лагранжев первый интеграл

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Задача с теоремой Нётер для доказательства сохранения энергии

Суммарная энергия в реономных системах

Связь между векторным полем, генератором и скалярным полем в теореме Нётер

Инвариантность лагранжиана в теореме Нётер

От теоремы Нётер к каноническому тензору энергии-импульса с использованием трансляций

Константы движения от лагранжиана

Сохраняющиеся токи из теоремы Нётер