Как рассчитать классическое действие на оболочке для гармонического осциллятора? [закрыто]

Я случайно напечатал это в личных заметках. Наверное, где-то была тренировка.

Рассмотрим гармонический осциллятор, который описывается гамильтонианом

$$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2q^2$$ Выполняя преобразование Лежандра, мы получаем действие в виде $$\mathcal{S}=\tfrac{1}{2}m\int_0^t(\dot{q}^2-\omega^2q^2)dt'$$ Теперь воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа, чтобы найти классическое уравнение движения: $$\frac{\partial L}{\partial q}=-2\omega^2 q\quad \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}=2\dot{q}\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}=2\ddot{q}$$ $$\ddot{q}_c=-\omega^2q_c$$ Чтобы решить эту проблему, мы сначала предполагаем, что решение будет примерно таким $e^{\lambda t}$. Подставляем это в наше дифференциальное уравнение $$\frac{d^2}{dt^2}e^{\lambda t}+\omega^2 e^{\lambda t}=\lambda^2 e^{\lambda t}+\omega^2 e^{\lambda t}=0$$ Фактор вне $e^{\lambda t}$чтобы получить $\lambda^2+\omega^2=0$. Это решается $$\lambda=\pm i\omega$$ Общее решение представляет собой сумму решений, созданных двумя корнями: $$q=c_1e^{-i\omega t}+c_2e^{i\omega t}$$ Примените тождество Эйлера: $$q=c_1[\cos(\omega t)-i\sin(\omega t)]+c_2[\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)]$$ Перегруппируйте термины и определите $A=c_1+c_2$и $B=i(c_2-c_1)$. Итак, наше дифференциальное уравнение решается формулой $$q_c=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$$ Отсюда: $$\dot{q}_c=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t)$$ $$\dot{q}_c^2=A^2\omega^2\sin^2(\omega t)-2AB\omega^2\cos(\omega t)\sin(\omega t)+B^2\omega^2\cos^2(\omega t)$$ $$\omega^2q^2_c=\omega^2[A^2\cos^2(\omega t)+2AB\cos(\omega t)\sin(\omega t)+B^2\sin^2(\omega t)]$$ Мы используем $$2\sin(\theta)\cos(\theta)=\sin(2\theta)$$ $$\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)=\cos(2\theta)$$ Теперь разница $$\dot{q}_c^2-\omega^2q_c^2=-2AB\omega^2\sin(2\omega t)+(B^2-A^2)\omega^2\cos(2\omega t)$$ Первообразная первой части есть $$-2AB\omega^2\int\sin(2\omega t)dt=AB\omega\cos(2\omega t)$$ А вторая часть это $$(B^2-A^2)\omega^2\int\cos(2\omega t)dt=\tfrac{1}{2}(B^2-A^2)\omega\sin(2\omega t)$$ Запишем формулу косинуса двойного угла как $$\cos(2\theta)=1-2\sin^2(\theta)$$ Итак, наша первая часть $$AB\omega\cos(2\omega t)=AB\omega-2AB\omega\sin^2(\omega t)$$ Теперь, когда у нас есть первообразная, мы можем вычислить действие: $$\tfrac{1}{2}m\int_0^t(\dot{q}^2-\omega^2q^2)dt'=\tfrac{1}{2}m\omega\left[(B^2-A^2)\sin(\omega t')\cos(\omega t')+AB-2AB\sin^2(\omega t')\right]_0^t$$ $$=\tfrac{1}{2}m\omega[(B^2-A^2)\sin(\omega t)\cos(\omega t)-2AB \sin^2(\omega t)]$$ Что $A$и $B$? Мы устанавливаем $q_c(0)=q_I=A$. Мы решаем $$q_c(t)=q_F=q_I\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$$ для $B$: $$B=\frac{q_F-q_I\cos(\omega t)}{\sin(\omega t)}$$ Подключаем это к действию, сначала делаем $AB$, $$AB=q_I\frac{q_F-q_I\cos(\omega t)}{\sin(\omega t)}$$ затем $B^2-A^2$ $$B^2-A^2=\left(\frac{q_F-q_I\cos(\omega t)}{\sin(\omega t)}\right)^2-q_I^2=\frac{q_F^2-2q_Fq_I\cos(\omega t)+q_I^2\cos^2(\omega t)-q_I^2\sin^2(\omega t)}{\sin^2(\omega t)}$$ Так $$-2AB\sin^2(\omega t)=\frac{-2q_Iq_F\sin^2(\omega t)+2q_I^2\cos(\omega t)\sin^2(\omega t)}{\sin(\omega t)}$$ И $$(B^2-A^2)\cos(\omega t)\sin(\omega t)=\frac{q_F^2\cos(\omega t)-2q_Fq_I\cos^2(\omega t)+q_I^2\cos^3(\omega t)-q_I^2\sin^2(\omega t)\cos(\omega t)}{\sin(\omega t)}$$ Затем мы используем еще несколько триггеров и переписываем $$q_I^2\cos^3(\omega t)=q_I^2\cos(\omega t)(1-\sin^2(\omega t))=q_I^2\cos(\omega t)-q_I^2\cos(\omega t)\sin^2(\omega t)$$ Теперь складываем две части вместе: $$(B^2-A^2)\cos(\omega t)\sin(\omega t)-2AB\sin^2(\omega t)=\frac{q_F^2\cos(\omega t)+q_I^2\cos(\omega t)-2q_Iq_F\sin^2(\omega t)-2q_Fq_I\cos^2(\omega t)}{\sin(\omega t)}$$ Это, конечно, можно упростить до $$\csc(\omega t)[(q_I^2+q_F^2)\cos(\omega t)-2q_Iq_F]$$ Окончательно приходим к выводу, что классическое действие $$\mathcal{S}[q_c]=\tfrac{1}{2}m\omega\csc(\omega t)[(q_I^2+q_F^2)\cos(\omega t)-2q_Iq_F]$$

Действие$S$определяется как временной интеграл лагранжиана$L$системы, а в классической механике лагранжиан — это просто кинетическая энергия$T$минус потенциальная энергия$V$. Таким образом, действие можно записать следующим образом:

$$S(\mathbf{x},\mathbf{\dot x}) = \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \; [T(\mathbf{\dot x}) - V(\mathbf{x})]$$

Для гармонического осциллятора с массой$m$и частота$\omega$, кинетическая энергия как функция скорости$\mathbf{\dot x}$является$T(\mathbf{\dot x}) = \frac{1}{2}m\mathbf{\dot x}^2$, а потенциальная энергия как функция положения$\mathbf{x}$является$V(\mathbf x) = \frac{1}{2}m\omega^2\mathbf{x}^2$, поэтому получаем:

$$S(\mathbf{x},\mathbf{\dot x}) = \frac{1}{2}m \int_{t_1}^{t_2} \text{d}t \; \big[\mathbf{\dot x}^2 - \omega^2\mathbf{x}^2\big]$$

Это действие гармонического осциллятора. Физический путь$\mathbf{x}(t)$по которому будет следовать гармонический осциллятор, - это путь, который минимизирует действие (или вообще путь, который создает стационарную точку в действии); и решение этой задачи минимизации (или вообще задачи экстремизации) эквивалентно решению уравнений Эйлера-Лагранжа для лагранжиана$L = T-V$.