Доказательство теоремы Нётер: как быть с преобразованиями во времени?

Я следил за доказательством теоремы Нётер в Lemos — Analytical Mechanics , стр. 73.

Он рассматривает полное бесконечно малое преобразование:

т ′ "=" т + ϵ Икс ( д ( т ) , т ) ,
(2.160) д ′ ( т ′ ) "=" д ( т ) + ϵ Ψ ( д ( т ) , т ) ,
чье изменение в действии
(2.161) Δ С "=" ∫ т 1 ′ т 2 ′ л ( д ′ ( т ′ ) , г д ′ ( т ′ ) г т ′ , т ′ ) г т ′ − ∫ т 1 т 2 л ( д ( т ) , г д ( т ) г т , т ) г т .
Обратите внимание, что пределы интегрирования изменяются в первом члене RHS.

Затем после подключения преобразования в Δ С он получает

(2.166) Δ С "=" ∫ т 1 т 2 л ( д + ϵ Ψ , д ˙ + ϵ ξ , т + ϵ Икс ) ( 1 + ϵ Икс ˙ ) г т − ∫ т 1 т 2 л ( д , д ˙ , т ) г т ,
где
(2.165) ξ "=" Ψ ˙ − д ˙ Икс ˙ .

  1. Почему первый интеграл выше [ т 1 , т 2 ] вместо [ т 1 ′ , т 2 ′ ] ?

  2. Нет ли члена, пропорционального ϵ [ л ( д ( т 2 ) , д ˙ ( т 2 ) , т 2 ) − л ( д ( т 1 ) , д ˙ ( т 1 ) , т 1 ) ] пренебрегают в Δ С выше?

Ответы (1)

  1. Обычно область интегрирования течет с помощью так называемого горизонтального преобразования (2.160а). Ссылка 1 начинается очень амбициозно, объявляя в уравнении. (2.160а) что горизонтальная образующая Икс ( д ( т ) , т ) является функцией д ( т ) , что необычно. Позже исх. 1, кажется, неявно предполагает, что Икс ( т ) это только функция времени т , как обычно предполагается.

  2. Теорема 2.7.1 на с. 74 в исх. 1 рассматривается только случай, когда действие С имеет строгую симметрию. В принципе теорема Нётер работает и в том случае, если действие обладает квазисимметрией, т. е. если оно инвариантно только с точностью до граничных членов, см. с. 75 в исх. 1.

Использованная литература:

  1. Лемос Н.А. Аналитическая механика , 2018; Раздел 2.7.
1. Что делает этот обычай математически верным? 2. Действие будет квазиинвариантным, если разность есть интеграл от полной производной функции д и т только. Но в данном случае разность представляет собой интеграл от г л / г т , т.е. полная производная функции д , д ˙ и т .
Я обновил ответ.
Доказательство теоремы Нётер: как быть с преобразованиями во времени?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v