Задача с использованием теоремы Нётер в нестационарном лагранжиане

Question

Задача с использованием теоремы Нётер в нестационарном лагранжиане

Дэйвид

У меня есть некоторые проблемы с вычислением сохраняемой величины для лагранжиана формы

л "=" \frac{1}{2} м {\dot{д}}^{2} - ф (т) а д,

$L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - f(t) a q,$

потому что я нашел общую проблему слишком абстрактной, я сначала попробовал с $f(t) = t$ , поэтому для остальной части поста я буду использовать

л "=" \frac{1}{2} м {\dot{д}}^{2} - т а д .

$L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2 - t a q.$

С использованием $L$ результирующее уравнение движения

м \ddot{д} "=" - а т,

$m\ddot{q} = - at,$ поэтому я думаю, что это, вероятно, самое слабое место моих рассуждений, возможное преобразование, которое оставило уравнение движения инвариантным, это

т \to Т "=" т + ε, д \to Вопрос "=" д - а ε \frac{т^{2}}{2 м} .

$t \to T = t + \varepsilon, \quad q \to Q = q - a \varepsilon \frac{t^2}{2m}.$

Ну, с этим я вычисляю расширенный лагранжиан *, $L_{\hbox{ext}}$

л_{доб.} "=" л (д, \frac{\bar{д}}{\bar{т}}, т) \bar{т},

$L_{\hbox{ext}} = L(q, \frac{\bar{q}}{\bar{t}}, t) \bar{t},$ и, используя теорему Нётер, сохраняющаяся величина равна

я "=" \frac{\partial л_{доб.}}{\partial \bar{д}} \frac{\partial Вопрос}{\partial ε} |_{ε "=" 0} + \frac{\partial л_{доб.}}{\partial \bar{т}} \frac{\partial Т}{\partial ε} |_{ε "=" 0},

$I = \frac{\partial L_{\hbox{ext}}}{\partial \bar{q}} \frac{\partial Q}{\partial \varepsilon}\vert_{\varepsilon = 0} + \frac{\partial L_{\hbox{ext}}}{\partial \bar{t}} \frac{\partial T}{\partial \varepsilon}\vert_{\varepsilon = 0},$ вычисление частичных дает

я "=" - м \frac{\bar{д}}{\bar{т}} а \frac{т^{2}}{2} - \frac{1}{2} м (\frac{\bar{д}}{\bar{т}})^{2} - т а д .

$I = - m \frac{\bar{q}}{\bar{t}}a \frac{t^2}{2} - \frac{1}{2} m \Bigl( \frac{\bar{q}}{\bar{t}} \Bigr)^2 - t a q.$ К несчастью для моего здравомыслия,

\dot{I} \neq 0

$\dot{I} \neq 0$ . Итак, если вы можете помочь мне найти какие-либо ошибки, я буду очень признателен, поскольку я пробовал эту процедуру с другими зависящими от времени лагранжианами, и это сработало. Например, Пример №1 Пример №2

*ПРИМЕЧАНИЕ, если $\tau$ новое время, то $\frac{\rm{d} t}{\rm{d} \tau} = \bar{t}$ , и $\bar{q} = \frac{\rm{d} q}{\rm{d} \tau}$ , ты это видишь $\dot{q} = \bar{q}/\bar{t}$ . К вашему сведению, эта форма сохраняет действие.

секавара

Подсказка: обратите внимание, что начальная скорость

{\dot{q}}_{(0)} = {\dot{q}}_{(t)} + \frac{a}{m} \int_{0}^{t} f_{(t^{'})} d t^{'}

$\dot{q}_{(0)} \, = \, \dot{q}_{(t)} \, + \, \frac{a}{m} \, \int^t_0 \, f_{(t')} \, \mathrm{d}t'$ , или любая его функция, не зависит от времени.

my2cts

Если лагранжиан зависит от времени, то имеет место обмен энергией с внешней степенью свободы. Теорема Нётер скажет вам, что энергия системы не сохраняется как член.

\partial L / \partial t

$\partial L /\partial t$ появится в правой части закона сохранения.

Ответы (1)

Задача с использованием теоремы Нётер в нестационарном лагранжиане

Подсказка: обратите внимание, что начальная скорость $\dot{q}_{(0)} \, = \, \dot{q}_{(t)} \, + \, \frac{a}{m} \, \int^t_0 \, f_{(t')} \, \mathrm{d}t'$ , или любая его функция, не зависит от времени.
Если лагранжиан зависит от времени, то имеет место обмен энергией с внешней степенью свободы. Теорема Нётер скажет вам, что энергия системы не сохраняется как член. $\partial L /\partial t$ появится в правой части закона сохранения.

Qмеханик · Answer 1

$F(t)=-af(t)$ внешняя сила, дающая импульс
$\begin{matrix} (А) & Дж (т) "=" \int_{т_{я}}^{т} д т^{'} Ф (т^{'}) \end{matrix}$ $J(t)~=~\int_{t_i}^t\! dt^{\prime} ~F(t^{\prime})\tag{A}$ к системе см. мой ответ Phys.SE здесь .
Сохраняющаяся величина / постоянная движения - это импульс минус импульс.
$\begin{matrix} (Б) & Вопрос "=" п - Дж . \end{matrix}$ $Q~=~p-J.\tag{B}$ (Это можно отождествить с начальным импульсом, см. вышеприведенный комментарий пользователя secavara.)
Постоянная движения порождает квазисимметрию , ср. утверждение 3 в моем ответе Phys.SE здесь .
Поэтому искомое преобразование квазисимметрии есть пространственные переносы
$\begin{matrix} (С) & дельта д "=" ε {д, Вопрос} \overset{(Б)}{"="} ε, дельта п "=" ε {п, Вопрос} \overset{(Б)}{"="} 0, дельта т "=" 0. \end{matrix}$ $\delta q~=~\varepsilon \{q,Q\}~\stackrel{(B)}{=}~\varepsilon , \qquad \delta p~=~\varepsilon \{p,Q\}~\stackrel{(B)}{=}~0 , \qquad \delta t~=~0.\tag{C}$
Бесконечно малое преобразование лагранжиана
$\begin{matrix} (Д) & дельта л \overset{(С)}{"="} \dots "=" ε Ф \overset{(А)}{"="} ε \frac{д Дж}{д т} \end{matrix}$ $\delta L ~\stackrel{(C)}{=}~\ldots~=~\varepsilon F~\stackrel{(A)}{=}~\varepsilon\frac{dJ}{dt} \tag{D}$ является полной производной.
Для пространственных перемещений (C) голый нётеровский заряд представляет собой сопряженный импульс $p$ . Полный нётеровский заряд - это количество $Q$ в уравнении (Б). Разница в том, что преобразование (C) является лишь квазисимметрией (D), а не строгой симметрией лагранжиана.

Спасибо @qmechanic. Я вижу и подтверждаю то, что вы любезно написали. Но я все еще не понимаю, почему мое преобразование, оставляющее уравнение движения инвариантным, не работает. Использование теоремы Нётер с вашим преобразованием приводит к $m\dot{q}$ . В этом случае справедливо заключить, что для других лагранжианов я должен добавить $-J$ к полученному $I$ рассчитывается по теореме Нётер?

Задача с использованием теоремы Нётер в нестационарном лагранжиане

Дэйвид

секавара

my2cts

Ответы (1)

Qмеханик

Дэйвид

Доказательство теоремы Нётер в классической механике

Лагранжев первый интеграл

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Задача с теоремой Нётер для доказательства сохранения энергии

Суммарная энергия в реономных системах

Связь между векторным полем, генератором и скалярным полем в теореме Нётер

Инвариантность лагранжиана в теореме Нётер

От теоремы Нётер к каноническому тензору энергии-импульса с использованием трансляций

Константы движения от лагранжиана

Сохраняющиеся токи из теоремы Нётер