Поле Дирака и плотность тензора энергии-импульса

В определении тензора энергии-импульса много неясностей. Тензор энергии-импульса является сохраняющимся током, и, как и все сохраняющиеся токи, он определен только с точностью до полной дивергенции. я предполагаю это$T_{\mu \nu}$был рассчитан с использованием канонического рецепта$T^\mu_\nu=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi^i)}\partial_\nu \phi^i-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu$(кажется, что вы упускаете второй кусок, или вы имеете дело с безмассовым полем). Канонический тензор несимметричен для полей со спином. По сути, собственный угловой момент также вносит свой вклад в T. Таким образом, вы находите термин$S^\lambda_{\mu \nu}$удовлетворяющий$\partial_\lambda S^\lambda_{\mu \nu}\approx T_{[\mu \nu]}$(S антисимметричен по первым двум индексам и, следовательно, имеет нулевую дивергенцию) и добавляем его к каноническому тензору. См. подробное описание здесь http://en.wikipedia.org/wiki/Belinfante%E2%80%93Rosenfeld_stress%E2%80%93energy_tensor

Эта процедура может показаться немного случайной, но, конечно же, вам действительно следует получить T из$T^{\mu \nu}=\frac{\delta S}{\delta g_{\mu \nu}}$как в общей теории относительности. Этот$T$всегда будет симметричным и фактически совпадает с тензором Белинфанте. Однако в этой процедуре все еще есть неясность. Чтобы получить T таким образом, вы должны «ковариантизировать» теорию, переводя метрику в динамическое поле. Эта ковариантизация неоднозначна: вы можете неминимально связать метрику с кривизной. Эти связи исчезают в пределе плоского пространства, но все еще могут влиять на выражение для T. Но, по крайней мере, это выражение всегда будет симметричным.

Надеюсь это поможет!