Диагональный гамильтониан, линейный по операторам бозе-поля

Часто в теории среднего поля я сталкивался с гамильтонианами вида

ЧАС "=" ю а † + ю * а + ϵ 0
где а и а † — регулярные операторы бозе-поля и ϵ 0 некоторое постоянное смещение энергии. Есть ли простой способ диагонализовать гамильтонианы такой формы? Я пытался найти это и не нашел никаких методов диагонализации операторов одного поля.

Ответы (1)

Используйте прямое представление а и а † :

а | н ⟩ "=" н | н − 1 ⟩ ,
а † | н ⟩ "=" н + 1 | н + 1 ⟩ .

Примените уравнение собственного значения ЧАС | Ψ ⟩ "=" Е | Ψ ⟩ в произвольное состояние

| Ψ ⟩ "=" ∑ н Ψ н | н ⟩ .

Вы получите следующее рекуррентное соотношение:

( Е − ϵ 0 ) Ψ н "=" ю н Ψ н − 1 + ю * н + 1 Ψ н + 1 .

Это линейно в Ψ для всех н , так что либо Ψ 0 ≠ 0 , либо все состояние просто равно нулю (что, конечно, не допускается принципами QM). Неважно, какое значение Ψ 0 вы выберете, это повлияет только на общую нормализацию.

Так что выбирайте произвольно Ψ 0 и восстановить остальное из рекуррентного отношения.

Бонусные вопросы: нормализуемы ли ваши собственные состояния? Что это означает математически и физически?

Диагональный гамильтониан, линейный по операторам бозе-поля
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v