Уравнение Дирака в КТП против релятивистской КМ

Ваша проблема связана не только с уравнением Дирака, но и с любым уравнением поля, которое у вас есть. Ваш вопрос касается интерпретации поля как волновой функции одной частицы. Есть две концепции, которые я хотел бы показать здесь, которые могут ответить на ваш вопрос: поля и волновые функции (это разные вещи).

• Поле — это объект$\phi_{\alpha} (x)$, где$x$ведет себя как событие в пространстве-времени и$\alpha$является индексом, который несет конечное представление симметрии Лоренца . Они подчиняются некоторым уравнениям, связывающим$\alpha$индексы и$x$, но это тут не при чем. Важно то, что они также подчиняются уравнению Клейна-Гордона, которое дается выражением

  $$\partial^2\phi_{\alpha}= \pm m^2\phi_{\alpha},$$ для подписи метрики ($\pm,\mp, \cdots,\mp$).

• Волновая функция — это представление квантового состояния в определенных базисах.

  $$\psi (x)=\langle x|\psi\rangle$$ где$|x\rangle$вести себя как событие (в нерелятивистской квантовой механике это$(t,\vec {x})$). Оказывается, это состояние$|x\rangle$в релятивистской квантовой механике: $$|x\rangle=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^{3/2}}\sqrt{\frac{k^0}{p^0}}e^{-ipx}|p\rangle$$ Вы можете проявить себя в качестве упражнения. Обратите внимание, что существует квадратный корень, который не позволяет этому интегралу быть простым преобразованием Фурье$|p\rangle$, собственный вектор P (генератор трансляций). Набор состояний$|x\rangle$не является ортогональным базисом, так как $$\langle x|y \rangle \neq 0$$ и квадратный корень в формуле выше отвечает за это. Итак, если мы работаем с волновой функцией$\langle x|\psi\rangle$в релятивистской КМ мы имеем дело с переполным базисным представлением.

Теперь, если мы обновим наш язык и перейдем к структуре вторичного квантования , мы получим

$$|x\rangle=a^{\dagger}_x|0\rangle$$ Определяя линейные комбинации операторов рождения и уничтожения вида: $$\phi(x)=Aa_x+Ba_x^{\dagger}$$ такой, что$[\phi(x),\phi^{\dagger}(y)]= 0$в пространственно-подобных разделениях является полезной конструкцией для моделирования локальных взаимодействий релятивистской КМ. Это приводит к предприятию « Квантовая теория поля» .

Поле интерпретируется не как волновая функция, а как оператор$\hat{\psi}$который создает/уничтожает частицы. Эта процедура квантования выполняется путем разложения поля на его компоненты Фурье, которые зависят от импульса, спина и т. д.$a_s(p)$,$a_s^\dagger(p)$,$b_s(p)$,$b_s^\dagger(p)$(тот факт, что эти$\hat{\psi}$операторы не являются самосопряженными, требует введения этих двух видов) и интерпретации их как операторов рождения и уничтожения частиц/античастиц с такими импульсом и спином. Тогда после наложения правильных (анти)коммутационных соотношений для этих операторов и определения вакуумного состояния,$|0\rangle$как государство, уничтоженное всеми$a$s, мы строим одночастичные и многочастичные состояния как$a^\dagger$s действует на вакуум так же, как мы действуем на простой гармонический осциллятор. Например

$$|p_1,s_1;p_2,s_2\rangle = a_{s_1}^\dagger(p_1) a_{s_2}^\dagger(p_2) |0\rangle$$ (Я игнорирую нормализацию, если кто-то спросит) И то же самое с $b^\dagger$с для античастиц.

Теперь уравнение Дирака дает эволюцию таких операторов, а сам гамильтониан, представляющий собой комбинацию этих операторов, действующих на эти состояния, дает положительные энергии.

Если вам интересно, состояния с определенным положением строятся с операторами поля, действующими на вакуум, так, например, волновая функция состояния с определенным импульсом и спином будет выглядеть примерно так:

$$\psi(x) = \langle x | p,s\rangle = \langle 0 |\hat{\psi}\,a_s^\dagger(p)|0\rangle$$ снова игнорируя нормализацию.

Как показали Дирак и другие, КТП — непересекающаяся теория РКМ; как следствие, КТП не может решить проблемы РКМ. Вы должны пересмотреть раздел «8.3. Решает ли КТП проблемы релятивистской КМ?» физ . Найденный. статья Квантовая механика: мифы и факты . Это вывод:

Таким образом, вместо того, чтобы говорить, что КТП решает проблемы релятивистской КМ, честнее сказать, что она просто заметает их под ковер.

Есть небольшая историческая справка.

Уравнение Дирака имеет два линейных решения, которые являются собственными состояниями гамильтониана Дирака: первое относится к положительным значениям энергии, а второе относится к отрицательным. В классической теории поля мы можем обойти эту проблему, задав тривиальные начальные условия$\psi (\mathbf r , t)$для отрицательных значений, но в квантовой теории это не предсказывает отсутствие «отрицательных» состояний, потому что возможны дискретные переходы между «положительными» и «отрицательными» состояниями. Проблема отрицательных энергий очень важна, потому что отсутствие ограничений на отрицательные энергетические состояния способствует развитию вещей, подобных вечному двигателю. Экспериментально не наблюдается.

Дирак феноменологически решил эту проблему, добавив концепцию моря Дирака к теории свободного поля. Это дает бесконечное число связанных частиц с отрицательными энергиями, что делает возможным отсутствие свободных растворов с отрицательными энергиями в силу принципа Паули. Но одновременно он определяет процессы уничтожения или переработки частиц. Например, если в вакууме существует состояние покоя с отрицательной энергией$-E$, свободный электрон с энергией$2E$может принять это состояние с выделением энергии$2E$(равно аннигиляции частиц). Таким образом, возможно уменьшение общего числа и заряда свободных частиц.

Но нет ничего критичного в интерпретации теории Дирака как одночастичной, потому что связанные электроны не могут взаимодействовать между собой: взаимодействие означает переход из одного связанного состояния в другое, а это невозможно из-за принципа Паули. Так что в случае свободных частиц Дирака это бесконечное число ненаблюдаемо из-за изотропии и однородности пространства-времени, и даже приняв концепцию моря Дирака, вы все равно можете интерпретировать уравнение Дирака как одночастичное. Но давайте введем некоторое внешнее поле. Он может взаимодействовать с морем Дирака и вытягивать из него частицы. Так что теория Дирака перестаёт быть одночастичной, когда внешнее поле может давать энергию больше, чем$2mc^2$.

Все эти размышления привели к квантовой теории поля. Все те идеи и проблемы, которые я описал, все еще присутствуют в формализме квантования (бесконечная энергия вакуума, операторы рождения и разрушения, процессы рассеяния с рождением пар во внешнем поле и т. д.), но важно различать причины и следствия. В нашем мире нет свободных частиц с отрицательной энергией - поэтому мы вводим квантовую теорию поля.