поле, каждый ненулевой элемент которого является корнем из единицы

Обозначение:$k^\times := k \setminus \{0\}$.

(1)$\Rightarrow$(2): если$k$имеет характеристику$0$, затем$a = 1 + 1 \in k$не является корнем единства. (Почему?)
Теперь, если предположить, что характеристика$p$, при любом$\alpha \in k^\times$,$\alpha$удовлетворяет полиному$X^n - 1 \in \Bbb F_p[x]$для соответствующего$n$(который$n$?).
(Обратите внимание, что$\Bbb F_p$является подполем$k$естественным путем.)

(2)$\Rightarrow$(1): Пусть$\alpha \in k^\times$. Затем,$F = \Bbb F_p(\alpha)$является конечным расширением$\Bbb F_p$. (Почему?)

Позволять$n := |F|$. (Это конечно. Почему?)

Затем,$F^\times$это группа порядка$n - 1$содержащий$\alpha$.
Таким образом,$\alpha^{n - 1} = 1$.

Если характеристика равна нулю, то есть элемент, не являющийся корнем из единицы, потому что$2^n\ne1$, для каждого$n$, в рациональных числах.

Таким образом, утверждение (1)$\Rightarrow$(2) очевидно, потому что если каждый элемент является корнем из единицы, он алгебраичен над простым подполем.

Предполагать$k/\mathbb{F}_p$является алгебраическим расширением и принимает$a\in k$,$a\ne0$. Затем$\mathbb{F}_p(a)$является конечным полем, и если$q$является его мощностью, каждый элемент в нем является корнем многочлена$x^q-x$. С$a\ne0$, это корень$x^{q-1}-1$