Поле цилиндра с поверхностной плотностью заряда σ=σ0cos(θ)σ=σ0cos⁡(θ)\sigma= \sigma_0 \cos(\theta)

Я думаю, что самый удобный способ справиться с такими ситуациями — это отметить, что если у вас есть решение$\varphi$к уравнению Пуассона$\nabla^2 \varphi = -\rho/\varepsilon_0$, то можно получить новые, применяя декартовы производные$\partial/\partial x$и так далее. (Это потому что$\partial/\partial x$коммутирует с лапласианом; трюк терпит неудачу в криволинейных координатах, где это уже не так.)

Многие стандартные решения можно рассматривать как возникающие таким образом: например, поле точечного диполя получается путем взятия поля точечного заряда

$$\varphi(\mathbf r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r}, \qquad\text{obeying}\qquad \nabla^2\varphi = q\delta(\mathbf r)/\varepsilon_0,$$ и дифференцируя его по $x$, давая вам $$\partial_x\varphi(\mathbf r) = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{x}{r^3}, \qquad\text{obeying}\qquad \nabla^2\partial_x\varphi = q\partial_x\delta(\mathbf r)/\varepsilon_0,$$ где $\partial_x\delta(\mathbf r) = \delta'(x)\delta(y)\delta(z)$представляет собой представление точечного диполя в виде распределенной плотности заряда. (Более высокие мультиполи также могут быть получены таким образом, хотя, если вы просто используете декартовы производные, вам нужно быть осторожным с тем, как вы обрабатываете их линейные комбинации.)

Точно так же вычисление двух смещенных сфер имеет естественное место в этом формализме, где вы берете в качестве отправной точки поле однородного заряженного шара:

$$\varphi(\mathbf r) = \begin{cases}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{r} & r>a \\ \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \frac{r^2}{a^3} & r<a\end{cases}, \qquad\text{obeying}\qquad \nabla^2\varphi = \rho_0\theta(a-r)/\varepsilon_0,$$ где теперь вам нужно дифференцировать ступенчатую функцию Хевисайда, чтобы дать вам $$\frac{\partial}{\partial x} \theta(a-r) = \frac{\partial r}{\partial x} \theta'(a-r) = \frac{x}{r} \delta(a-r),$$ и внутренняя производная $\partial_x r^2 = 2x$дает вам линейный потенциал и, следовательно, постоянное электрическое поле. (Возможно, я подтасовываю некоторые константы. Детально проработайте этот материал, чтобы убедиться, что он правильный.)

Более того, должно быть ясно, почему этот трюк с производной работает в данной ситуации: если вы хотите смоделировать однородный заряженный шар с центром в$(\Delta x,0,0)$, можно сказать, что это результат однородного шара заряда в начале координат плюс$\sigma\propto\cos(\theta)$двойная оболочка, или вы можете сделать расширение Тейлора в$\Delta x$получить

$$\varphi_{\Delta x}(\mathbf r) = \varphi_{0}(\mathbf r) + \Delta x \left[ \frac{\partial}{\partial \Delta x}\varphi_{\Delta x}(\mathbf r) \right]_{\Delta x=0} + \mathcal O((\Delta x)^2),$$ где производная вдоль $\Delta x$эквивалентна производной вдоль $x$(так же, как активные и пассивные преобразования системы отсчета эквивалентны) и пренебрегаемые члены в $\mathcal O((\Delta x)^2)$также отбрасываются в примере с волнами от руки.

Хорошо, это все хорошо, но как вы применяете это к своему цилиндру? Ну, вы начинаете с однородного цилиндра заряда и берете производную распределения заряда и ее решения по координате, ортогональной оси. Удачных расчетов!