Электрическое поле в сфере с просверленным в ней цилиндрическим отверстием

Question

Электрическое поле в сфере с просверленным в ней цилиндрическим отверстием

Маркус Эмильссон

Предположим, что у вас есть сфера радиуса $R$ и равномерная плотность заряда $\rho$ ; цилиндрическое отверстие радиусом $a$ ( $a\ll R$ ) просверливается через центр сферы, оставляя его как «бусину ожерелья».

Я хотел бы найти функцию для электрического поля (1) очень далеко от сферы ( $r\gg R$ ) и (2) внутри отверстия, рядом с центром валика $r\ll R$ .

В случае (1) я просто рассматриваю его как точечный заряд, и расчет электрического поля тривиален.

Однако я не уверен, как подойти к части (2), и буду признателен за любую помощь. Комбинация сферической и цилиндрической геометрии делает это довольно сложным. Я не уверен, какое приближение или упрощение можно сделать, зная, что $r\ll R$ .

Возможно, было бы правильно найти электрическое поле из (1) полной, равномерно заряженной сферы и (2) цилиндра с плотностью заряда $-\rho$ ? Суммируя плотности зарядов, мы получим нашу первоначальную систему «бусинок», поэтому я могу просто сложить вместе выражения для электрического поля. Выполнение случая (1) довольно легко, но (2) нетривиально для положений, которые не вдоль оси цилиндра, но, возможно, из-за нашего условия, что $r\ll R$ и $a\ll R$ , можно считать, что поле от цилиндра вдоль $z$ -ось является достаточно хорошим приближением.

Крис Мюллер

В самом центре шарика симметрия означает, что электрическое поле равно нулю.

Маркус Эмильссон

Конечно, но как насчет других мест в яме?

Крис Мюллер

Напряженность поля также должна быть примерно неизменной при движении в

ρ

$\rho$ направлении (в цилиндрических координатах) по той же причине, по которой вы не чувствуете массу оболочки, находясь внутри оболочки. Таким образом, вы должны получить что-то, что является просто функцией

z

$z$ . Ваше редактирование звучит как хорошая идея. Теоретически это, безусловно, хорошо из-за суперпозиции, хотя я не знаю, облегчит ли это интегралы.

Шивам Сародия

Не забывайте, что в предлагаемом вами способе добавления цилиндра плотности заряда

- ρ

$-\rho$ , вы либо пренебрегаете изогнутой частью сферы над и под цилиндром отрицательного заряда, либо добавляете дополнительные отрицательные заряды над и под сферой, в зависимости от высоты вашего цилиндра. Я не знаю, будет ли это иметь значение для проблемы, но это стоит иметь в виду. (Не уверен, что это имеет смысл - если нет, я сделаю картинку.)

Маркус Эмильссон

@Draksis: Ах, верно. Я думаю, что аппроксимировать дыру цилиндром относительно безопасно, потому что нам известно, что радиус дыры намного меньше радиуса сферы.

Шивам Сародия

@Kironide О, это, конечно, правда.

Ответы (2)

Электрическое поле в сфере с просверленным в ней цилиндрическим отверстием

В самом центре шарика симметрия означает, что электрическое поле равно нулю.
Конечно, но как насчет других мест в яме?
Напряженность поля также должна быть примерно неизменной при движении в $\rho$ направлении (в цилиндрических координатах) по той же причине, по которой вы не чувствуете массу оболочки, находясь внутри оболочки. Таким образом, вы должны получить что-то, что является просто функцией $z$ . Ваше редактирование звучит как хорошая идея. Теоретически это, безусловно, хорошо из-за суперпозиции, хотя я не знаю, облегчит ли это интегралы.
Не забывайте, что в предлагаемом вами способе добавления цилиндра плотности заряда $-\rho$ , вы либо пренебрегаете изогнутой частью сферы над и под цилиндром отрицательного заряда, либо добавляете дополнительные отрицательные заряды над и под сферой, в зависимости от высоты вашего цилиндра. Я не знаю, будет ли это иметь значение для проблемы, но это стоит иметь в виду. (Не уверен, что это имеет смысл - если нет, я сделаю картинку.)
@Draksis: Ах, верно. Я думаю, что аппроксимировать дыру цилиндром относительно безопасно, потому что нам известно, что радиус дыры намного меньше радиуса сферы.

RE60K · Answer 1

Для цилиндра:

Цилиндр

д В "=" π а^{2} д р д д "=" р д В "=" р π а^{2} д р д Е "=" К д д / р^{2} "=" К р π а^{2} д р / р^{2} Е "=" \int д Е "=" К р π а^{2} \int_{р_{0}}^{р_{0} + л} д р / р^{2} "=" \frac{К р π а^{2} л}{р_{0} (р_{0} + л)}

$dV=\pi a^2dr\\dq=\rho dV=\rho\pi a^2dr\\dE=Kdq/r^2=K\rho\pi a^2dr/r^2\\E=\int dE=K\rho\pi a^2\int_{r_0}^{r_0+l} dr/r^2=\frac{K\rho\pi a^2l}{r_0(r_0+l)}$

В случае, если внутри него, как на рисунке, поле, обусловленное $R-x$ длина цилиндра сокращается таким же цилиндром с противоположной стороны, таким образом, результирующее поле:

Е "=" \frac{К р π а^{2} л}{р_{0} (р_{0} + л)} "=" \frac{К р π а^{2} (2 Икс)}{(р - Икс) (р - Икс + 2 Икс)} "=" \frac{2 К р π а^{2} Икс}{р^{2} - {Икс}^{2}} "=" \frac{2 К р π а^{2} Икс}{р^{2} (1 - \frac{{Икс}^{2}}{р^{2}})} \approx \frac{2 К р π а^{2} Икс}{р^{2}} как Икс ≪ р "=" \frac{р а^{2} Икс}{2 ϵ_{0} р^{2}}

$E=\frac{K\rho\pi a^2l}{r_0(r_0+l)} =\frac{K\rho\pi a^2(2x)}{(R-x)({R-x}+2x)}\\ =\frac{2K\rho\pi a^2x}{R^2-x^2} =\frac{2K\rho\pi a^2x}{R^2\left(1-\frac{x^2}{R^2}\right)} \approx\frac{2K\rho\pi a^2x}{R^2} \text{ as } x\ll R\\ =\frac{\rho a^2x}{2\epsilon_0R^2}$

И для сферы:

Е "=" {\begin{cases} \frac{р Икс}{3 ϵ_{0}} 0 \leq Икс \leq р \\ \frac{р р^{3}}{3 ϵ_{0} {Икс}^{2}} Икс \geq р \end{cases}

$\large E=\begin{cases} \frac{\rho x}{3\epsilon_0}\;0\le x\le R \\\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 x^2}\;x\ge R \end{cases}$

Сейчас $E$ можно легко рассчитать

Е_{о ты т} "=" \frac{р р^{3}}{3 ϵ_{0} р^{2}} - \frac{р а^{2} (2 р)}{4 ϵ_{0} (р - р) (р - р + 2 р)} "=" \frac{р р^{3}}{3 ϵ_{0} р^{2}} - \frac{2 р а^{2} р}{4 ϵ_{0} (р^{2} - р^{2})} \approx \frac{р р^{3}}{3 ϵ_{0} р^{2}} - \frac{р а^{2} р}{2 ϵ_{0} р^{2}} как р ≫ р "=" \frac{р р}{6 ϵ_{0} р^{2}} [2 р^{2} - 3 а^{2}]

$E_{out}= \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}-\frac{\rho a^2(2R)}{4\epsilon_0(r-R)(r-R+2R)}\\ =\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}-\frac{2\rho a^2R}{4\epsilon_0(r^2-R^2)}\\ \approx \frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}-\frac{\rho a^2R}{2\epsilon_0r^2} \text{ as } r\gg R \\ =\frac{\rho R}{6\epsilon_0 r^2}\left[2R^2-3a^2\right]$

Обратите внимание, что, $\large\lim_{a\to 0}E=\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}$

Аналогично

Е_{я н} "=" \frac{р Икс}{3 ϵ_{0}} - \frac{р а^{2} Икс}{2 ϵ_{0} р^{2}} "=" \frac{р Икс}{6 ϵ_{0}} . [2 - 3 \frac{а^{2}}{р^{2}}]

$E_{in}=\frac{\rho x}{3\epsilon_0}-\frac{\rho a^2x}{2\epsilon_0R^2}\\ =\frac{\rho x}{6\epsilon_0}.\left[2-3\frac{a^2}{R^2}\right]$

Здесь также, $\large\lim_{a\to 0}E=\frac{\rho x}{3\epsilon_0}$

пользователь50378 · Answer 2

Я согласен с результатом, но я хотел бы объяснить другой, более общий и быстрый подход. Поскольку радиус отверстия пренебрежимо мал по сравнению с радиусом сферы, а единственным возможным направлением для E, совместимым с симметрией, является ось z, и, наконец, принимая во внимание, что тангенциальные компоненты E непрерывны, решение в точности то же самое мы получаем, рассматривая только сферу с равномерным распределением заряда.

Электрическое поле в сфере с просверленным в ней цилиндрическим отверстием

Маркус Эмильссон

Крис Мюллер

Маркус Эмильссон

Крис Мюллер

Шивам Сародия

Маркус Эмильссон

Шивам Сародия

Ответы (2)

RE60K

Для цилиндра:

И для сферы:

Сейчас $E$ можно легко рассчитать

Аналогично

пользователь50378

Потенциал из-за заряженного кольца: разрыв электрического поля

Поле цилиндра с поверхностной плотностью заряда σ=σ0cos(θ)σ=σ0cos⁡(θ)\sigma= \sigma_0 \cos(\theta)

Электрическое поле из-за заряженной сферы

Поле в центре куба с положительно и отрицательно заряженными гранями [дубликат]

Нулевое электрическое поле в пустой области полого проводника

Электрическое поле на сферической оболочке с вырезанным диском

По заданному распределению зарядов найти электрическое поле

Закон Гаусса, дающий нулевое поле там, где поле не равно нулю?

Каков физический смысл плотности энергии электростатического поля?

Где ошибка в этом расчете потока? [закрыто]

Электрическое поле в сфере с просверленным в ней цилиндрическим отверстием

Маркус Эмильссон

Крис Мюллер

Маркус Эмильссон

Крис Мюллер

Шивам Сародия

Маркус Эмильссон

Шивам Сародия

Ответы (2)

RE60K

Для цилиндра:

И для сферы:

СейчасЕ Е Eможно легко рассчитать

Аналогично

пользователь50378

Сейчас $E$ можно легко рассчитать