Потенциал из-за заряженного кольца: разрыв электрического поля

Я только что начал свой третий курс промежуточного курса по электродинамике. Стандартная проблема в электростатике, с которой можно неоднократно сталкиваться, заключается в нахождении потенциала, обусловленного однородно заряженным кольцом радиуса a и полного заряда q в точке P (r, θ) , как показано на рисунке ниже.

$$\\ $$

$$\\ $$ Решение уравнения Лапласа $\vec \nabla^2V(r, \theta) = 0$для этой задачи дает
$$V(r, θ) = \begin{cases} \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\sum_{l=0}^{\infty}{\frac{a^l}{r^{l+1}}}P_{l}(0)P_l(\cos{θ}), & \text{if}\ r > a \\ \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\sum_{l=0}^{\infty}{\frac{r^l}{a^{l+1}}}P_{l}(0)P_l(\cos{θ}), & \text{if}\ r < a \\ \end{cases}$$ где $P_l(x)$полиномы Лежандра порядка $l$предоставлено: $$P_l(x) = \frac{1}{2^ll!}\frac{d^l}{dx^l}(x^2-1)^l$$ Поскольку система обладает азимутальной симметрией, зависимость от $\phi$. Теперь не возникает проблем с непрерывностью $V(r, \theta)$в $r = a$, но есть несоответствие, когда мы смотрим на левую и правую радиальные производные от $V(r, \theta)$в $r = a$. Отсюда непрерывность по радиальной составляющей $E_r = -\frac{\partial{V}}{\partial{R}}$электрического поля теряется на сфере $r = a$. Но опять же, любая неоднородность электрического поля в общем случае должна быть связана только с поверхностной плотностью заряда, а заряда в точке нет. $r = a$когда $\theta \neq \pi/2$. Каким должно быть правдоподобное физическое объяснение этого? Заранее спасибо!