Электрическое поле из-за заряженной сферы

Честно говоря, я сам узнал обо всем этом только в последние месяцы, так что я не уверен, что это на самом деле правильно.

Поскольку у вас есть эта сферическая симметрия, я думаю, вам нужны сферические гармоники. Это ортогональные функции, думайте о них как о ряде Фурье на поверхности сферы.

Ваша плотность заряда$\sigma$не зависит от$\phi$, поэтому мы можем использовать более простые полиномы Лежандра, где$m = 0$. Во-первых, мы хотим выразить потенциал следующим образом:

$$\varphi(\vec x) = \frac1{\varepsilon_0} \sum_{l=0}^\infty \frac{1}{2l+1} \varrho_{l} \frac{1}{r^{l+1}} Y_{l,0} (\theta, \phi)$$

Коэффициенты$\varrho_l$даны:

$$\varrho_l = \int \mathrm d^3 x'\, r'^l \varrho(\vec x) Y^*_{l,0} (\theta', \phi')$$

Теперь с

$$Y^*_{l,0}(\theta', \phi') = \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}} P_l(\cos \theta')$$ и $$P_0(x) = 1 ,\quad P_1(x) = x$$ мы можем рассчитать коэффициенты.

Но сначала нам нужно преобразовать плотность поверхностного заряда$\sigma$в объемную плотность заряда. Для этого мы используем$\delta$-распределение:

$$\varrho(\vec x) = \delta(r-R) \sigma_0 \cos(\theta)$$

Если вы подключите их к$\varrho_l$, ты получишь$\varrho_0 = 0$и$\varrho_1 = \sqrt{\frac{3}{4 \pi}} \frac{4}{3} \pi R^3 \sigma_0$. Я надеюсь, что это правильно.

Тогда мы можем подставить это в первую формулу и получить$\varphi$:

$$\varphi(\vec x) = \frac{1}{\varepsilon_0} \sqrt{\frac{3}{4 \pi}} \frac{4}{3} \pi R^3 \frac{1}{r^2} \sigma_0 \cos \theta$$

Поскольку это чисто дипольный потенциал,$1/r^2$кажется правильным. А если посмотреть на размеры, то$R^3 \sigma_0 / r^2$иметь только необходимый заряд / длину.

Сферические гармоники могут быть излишними, возможно, есть более простой способ сделать это.