Положение оператора в сферическом основании

В наборе примечаний говорится, что мы можем определить сферические базисные векторы в терминах декартовых базисных векторов.$\hat{x}, \hat{y}$и$\hat{z}$к

$$\hat{e}_{\pm 1} := \mp \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{x} \pm i \hat{y})~~\text{and}~~\hat{e_{0}} = \hat{z}~~~~~~~~~~~~~~(*)$$

С точки зрения компонентов вектора$\mathbf{A} = A_x \hat{x} + A_{y}\hat{y} + A_{z}\hat{z}$у нас есть

$$\hat{A}_{\pm 1} := \mp \frac{1}{\sqrt{2}}(A_x \pm i A_y)~~\text{and}~~A_{0} = A_z~~~~~~~~(**)$$

Затем он утверждает следующее относительно компонентов вектора положения: «компоненты вектора положения$\mathbf{r}$можно написать

$$r_{\pm 1} = \mp \frac{r}{\sqrt{2}} \sin \theta e^{\pm i \phi}~~~\text{and}~~~r_0 = r \cos \theta~~~~\text{(position operator in spherical basis)}$$ или более компактно $$r_{q} = r \sqrt{\frac{4 \pi}{3}}Y_{1}^{q}(\theta, \phi)~~~(\text{position operator as spherical harmonics})"$$

Вопрос: Итак, ясно, что$r_q$получается из$(**)$с помощью замены сферических координат

$$x = r sin \theta cos \phi,~~~y = r \sin \theta \sin \phi,~~~z = r \cos \theta$$ В чем причина написания его в таком виде и как он соотносится с оператором положения в сферическом базисе, указанным в скобках?