Инвариантность коммутационных соотношений при замене базиса

Рассмотрим следующее:

Пусть для операторов А ^ и Б ^ имеет место следующее коммутационное соотношение:

(1) [ А ^ , Б ^ ] "=" С ^

и теперь мы знаем, что это соотношение выполняется,

(2) [ А ^ ′ , Б ^ ′ ] "=" С ^ ′

где,

А ^ ′ "=" Т Икс ← Д А

Б ^ ′ "=" Т Икс ← Д Б

С ^ ′ "=" Т Икс ← Д С

(Поскольку коммутационные соотношения не зависят от замены базиса)

Теперь легко доказать это для унитарного преобразования U (что есть не что иное, как изменение основы) следующим образом:

[ А ^ ′ , Б ^ ′ ] "=" А ^ ′ Б ^ ′ − Б ^ ′ А ^ ′ "=" U А U † U Б U † − U Б U † U А U † "=" U ( А Б − Б А ) U † "=" U С U † "=" С ′

где сейчас, (я думаю, что проблема в этом 1 )

А ^ ′ "=" U А U †

Б ^ ′ "=" U Б U †

С ^ ′ "=" U С U †

Здесь U (который представляет собой не что иное, как матрица преобразования/перехода) применяется на обоих концах, поскольку здесь A является оператором на множестве гильбертова пространства, в отличие от матрицы перехода, которая просто предварительно умножается. 2

Когда я пытаюсь доказать ( 2 ) от ( 1 ) для моего предыдущего случая с матрицей перехода это происходит;

[ А ^ ′ , Б ^ ′ ] "=" А ^ ′ Б ^ ′ − Б ^ ′ А ^ ′ "=" Т Икс ← Д А Т Икс ← Д Б − Т Икс ← Д Б Т Икс ← Д А

Я застрял здесь, и я думаю, что разрешение связано с 1 и 2

Я думаю, что мы должны быть в состоянии доказать вышеуказанное соотношение, или же изменение базиса (без изменения коммутационных соотношений) работает только для гильбертовых пространств, где Т (матрицы преобразования, которые всегда унитарны для ортонормированного изменения базиса для гильбертова пространства) на операторе ведут себя как U () U ^ {\ dagger}, а не для общего изменения базиса, как я пробовал выше для векторных пространств, которые
.... эм... не-Гильберта?

Это не то, как смена базы работает на операторах.
Да @fqq правильно. Даже для общего изменения базы А ′ "=" Т А Т − 1 а не то что вы написали как отношения.
Между прочим, неверно, что замены базиса обязательно унитарны в гильбертовых пространствах. Они не имеют априорного отношения к структуре скалярного произведения.
Почему? Оператор — это квадратная матрица, и для любой матрицы базис изменения — это просто предварительное умножение на матрицу перехода.
@sslucifer Да, для оператора это уравнение, которое вы написали, но оператор - это просто квадратная матрица, а из линейной алгебры любое изменение основы матрицы - это то, что я написал выше. Не так ли?
Предварительное умножение @Lost работает с векторами, например | в ′ ⟩ "=" Т | в ⟩ . Вы можете вывести для оператора, что это предварительное умножение неверно.
@fqq Можно легко доказать, что для полной и ортонормированной упорядоченной замены базиса преобразование всегда унитарно.
@sslucifer Это работает для матриц, верно? Изучая это в линейной алгебре, никто не сказал мне, что эти матрицы должны быть векторами, чтобы это отношение сохранялось.
@Потерял, конечно, ты добавил "ортонормированный".
@fqq да да. Но коммутаторные соотношения в любом случае выполняются даже для неортонормированной замены базиса, преобразования которой неунитарны (ryt?). Но спасибо, что указали на это.
@Lost Актуальность и полезность вопроса для других — это лишь необходимое условие для того, чтобы сообщение не было закрыто; это не достаточное условие. Также некорректный контент не является причиной закрытия.
@BioPhysicist Тогда что я могу улучшить в своем вопросе, который мог вызвать голосование о закрытии?
Это похоже на проверку моего рабочего вопроса.
@Lost Я не понимаю, что ты имеешь в виду. Я ничего не говорил о репутации.
Я просто имел в виду, что даже представить себе не мог, что это будет выглядеть как проверка моего рабочего вопроса.
Это разочаровывает.
@Lost Это только один голос. Один голос сам по себе ничего не значит. Это происходит все время.

Ответы (1)

Суммируя по повторяющимся индексам, элементы исходного коммутаторного отношения удовлетворяют С я Дж "=" А я к Б к Дж − А к Дж Б я к . Наиболее общим линейным преобразованием операторов является А я Дж ′ "=" Икс я Дж м н А м н , и вы можете определить состояние на Икс эквивалентно Икс я Дж м н ( А м р Б р н − А р н Б м р ) "=" А я к Б к Дж − А к Дж Б я к . Но, как отмечают @fqq и @sslucifer, если мы хотим, чтобы каждый вектор преобразовывался, а именно. в ′ "=" Т в нам нужно Т А в "=" А ′ в ′ "=" А ′ Т в , так А ′ "=" Т А Т − 1 . (Состояние Т − 1 "=" Т † сохраняет скалярный продукт, но не все интересующие нас базы ортонормированы.) Это так Икс я Дж м н "=" Т я м ( Т − 1 ) н Дж , который, как вы можете убедиться, работает. Таким образом, в зависимости от вашей точки зрения, вы можете увидеть это преобразование как умножение А по одному или двум факторам.

@Lost, это очень хороший ответ. Причина по которой Т А в "=" А ′ в ′ это потому что А в также является вектором, принадлежащим тому же векторному пространству, что верно для любого гильбертова пространства. Таким образом, вектор А в должны быть преобразованы одним и тем же отношением.
Инвариантность коммутационных соотношений при замене базиса
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v