Каким образом среднее значение величины может быть оператором?

Question

Каким образом среднее значение величины может быть оператором?

Руслан

В квантовой механике Лаундау и Лифшица . Нерелятивистская теория в $\S29$ задана проблема:

ЗАДАЧА Усреднение тензора $n_in_k-\frac13\delta_{ik}$ (где $\mathbf{n}$ — единичный вектор вдоль радиус-вектора частицы) над состоянием, где величина, но не направление вектора $\mathbf{l}$ дается (т.е. $l_z$ является неопределенным).

Затем решение начинается с этого (курсив мой):

$\def\sc#1{\dosc#1\csod} \def\dosc#1#2\csod{{\rm #1{\small #2}}} \sc{SOLUTION.}$ Искомое среднее значение является оператором , который может быть выражен через оператор $\mathbf{\hat l}$ один. Ищем его в виде

$\bar{н_{я} н_{к}} - \frac{1}{3} {дельта}_{я к} "=" а [{\hat{л}}_{я} {\hat{л}}_{к} + {\hat{л}}_{к} {\hat{л}}_{я} - \frac{2}{3} {дельта}_{я к} л (л + 1)];$ $\overline{n_in_k}-\frac13\delta_{ik}=a[\hat l_i\hat l_k+\hat l_k\hat l_i-\frac23\delta_{ik}l(l+1)];$

это наиболее общий симметричный тензор второго ранга с нулевым следом, который можно составить из компонент $\mathbf{\hat l}$ . ...

Что меня смущает, так это выделенная курсивом часть: «среднее значение - это оператор». Насколько я понимаю, среднее значение в данном состоянии $|\psi\rangle$ количества $\kappa$ дан кем-то

\bar{κ} "=" ⟨ ψ | \hat{κ} | ψ ⟩ .

$\overline\kappa=\langle\psi|\hat\kappa|\psi\rangle.$

Здесь $\overline\kappa$ не оператор, а $\hat\kappa$ является. Пытаются ли L&L сократить в своем заявлении какую-то более четкую фразу? Или я что-то неправильно понимаю?

hft

Может быть, они имеют в виду, что это эквивалентный оператор, действующий в пространстве фиксированных "

ℓ

$\ell$ ", натянутых состояниями разных "м", от

- ℓ

$-\ell$ к

ℓ

$\ell$ ?

София

@Руслан - смотрел в книге Ландау и Лифшица. Они объясняют вам, как решить упражнение. Просто замечаю, что в конце дают формулу, в которой фигурирует

\hat{{\vec{ℓ}}^{2}} = l (l + 1)

$\hat {{\vec {\ell}}^2} = l(l+1)$ . Конечно, оператор не равен своему собственному значению. Но что они делают, учитывая, что вам сказали, что государство

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ является собственным значением

\hat{{\vec{ℓ}}^{2}}

$\hat {{\vec {\ell}}^2}$ , и учитывая, что они получили, что

\hat{k}

$\hat k$ с точки зрения

\hat{{\vec{ℓ}}^{2}}

$\hat {{\vec {\ell}}^2}$ , они действительно делают

⟨ ψ | \hat{k} | ψ ⟩

$\langle \psi|\hat k|\psi \rangle$ , где

\hat{k} | ψ ⟩

$\hat k |\psi\rangle$ заменяется собственным значением

\hat{k}

$\hat k$ раз

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ .

Ответы (2)

Каким образом среднее значение величины может быть оператором?

Может быть, они имеют в виду, что это эквивалентный оператор, действующий в пространстве фиксированных " $\ell$ ", натянутых состояниями разных "м", от $-\ell$ к $\ell$ ?
@Руслан - смотрел в книге Ландау и Лифшица. Они объясняют вам, как решить упражнение. Просто замечаю, что в конце дают формулу, в которой фигурирует $\hat {{\vec {\ell}}^2} = l(l+1)$ . Конечно, оператор не равен своему собственному значению. Но что они делают, учитывая, что вам сказали, что государство $|\psi\rangle$ является собственным значением $\hat {{\vec {\ell}}^2}$ , и учитывая, что они получили, что $\hat k$ с точки зрения $\hat {{\vec {\ell}}^2}$ , они действительно делают $\langle \psi|\hat k|\psi \rangle$ , где $\hat k |\psi\rangle$ заменяется собственным значением $\hat k$ раз $|\psi\rangle$ .

Qмеханик · Answer 1

Позволять

\begin{matrix} (1) & {\hat{Т}}_{я к} "=" {\hat{н}}_{я} {\hat{н}}_{к} - \frac{1}{3} {дельта}_{я к} \hat{1} . \end{matrix}

$\tag{1} \hat{T}_{ik}~:=~\hat{n}_i \hat{n}_k-\frac{1}{3}\delta_{ik}\hat{\bf 1}.$

Формулировка проблемы в Ref. 1 действительно не самый четкий, но при сравнении с данным решением кажется, что Ref. 1 выполняется частичное усреднение по гильбертовому пространству состояний с фиксированным значением квантового числа орбитального углового момента $\ell$ и сохраняя магнитное квантовое число $m$ как одинокая неопределенность. На практике это означает усреднение по радиальному направлению.

Другими словами, исх. 1 рассматривает неприводимый $(2\ell+1)$ -мерное представление $R$ операторной алгебры [и группы Ли $SO(3)$ ], с векторным пространством $V$ , натянутый на векторы $|\ell m \rangle$ , $m\in\{-\ell,\ldots,\ell\}$ . Обозначая процедуру усреднения чертой, имеем

\begin{matrix} (2) & \bar{{\hat{Т}}_{я к}} "=" р ({\hat{Т}}_{я к}), {\hat{ℓ}}_{я} "=" р ({\hat{л}}_{я}) . \end{matrix}

$\tag{2} \overline{\hat{T}_{ik}}~=~R(\hat{T}_{ik}), \qquad \hat{\ell}_i~:=~R(\hat{L}_i).$

Мы хотели бы вычислить элементы матрицы

\begin{matrix} (3) & ⟨ ℓ м | \bar{{\hat{Т}}_{я к}} | ℓ м^{'} ⟩ "=" ⟨ ℓ м | р ({\hat{Т}}_{я к}) | ℓ м^{'} ⟩ "=" ф_{я к} (ℓ, м, м^{'}), \end{matrix}

$\tag{3}\langle \ell m | \overline{\hat{T}_{ik}}|\ell m^{\prime} \rangle ~=~\langle \ell m |R(\hat{T}_{ik})|\ell m^{\prime} \rangle ~=~f_{ik}(\ell,m,m^{\prime}),$

которые являются некоторыми функциями $i,k,\ell,m,m^{\prime}$ . Вместо рассмотрения матричных элементов мы можем рассмотреть оператор/матрицу $R(\hat{T}_{ik})\in{\rm End}(V)$ . Естественно предположить, что

\begin{matrix} (4) & р ({\hat{Т}}_{я к}) "=" \sum_{м, м^{'}} | ℓ м ⟩ ⟨ ℓ м | р ({\hat{Т}}_{я к}) | ℓ м^{'} ⟩ ⟨ ℓ м^{'} | "=" {\hat{ф}}_{я к} ({\hat{ℓ}}_{1}, {\hat{ℓ}}_{2}, {\hat{ℓ}}_{3}; ℓ) . \end{matrix}

$\tag{4}R(\hat{T}_{ik})~=~\sum_{m,m^{\prime}}|\ell m \rangle\langle \ell m |R(\hat{T}_{ik})|\ell m^{\prime} \rangle\langle \ell m^{\prime} | ~=~\hat{f}_{ik}(\hat{\ell}_1,\hat{\ell}_2,\hat{\ell}_3;\ell).$

Из тензорной структуры следует, что $R(\hat{T}_{ik})$ должен быть в форме

\begin{matrix} (5) & р ({\hat{Т}}_{я к}) \propto {{\hat{ℓ}}_{я}, {\hat{ℓ}}_{к}}_{+} - \frac{2}{3} {дельта}_{я к} ℓ (ℓ + 1) \hat{1} . \end{matrix}

$\tag{5}R(\hat{T}_{ik})~\propto~\{\hat{\ell}_i,\hat{\ell}_k\}_{+}-\frac{2}{3}\delta_{ik}\ell(\ell+1)\hat{\bf 1}.$

См. ссылку. 1 для получения дополнительной информации.

Использованная литература:

Л. Д. Ландау и Э. М. Лифшиц, QM, Vol. 3, 3-е изд., 1981; $\S29$ .

Хм, я не совсем понимаю, по чему мы усредняем. Как сейчас кажется $l$ по-прежнему является параметром $\overline{\hat T_{ik}}$ . Как я понял процедура, это что-то вроде перехода на базу, где $\hat T_{ik}$ является блочно-диагональным, выбирая один из этих блоков (неповторяющихся) $R_l(\hat T_{ik})$ , выражая его через $R_l(\hat L_i)$ , а затем вернуться к исходной основе. Это правильно?
Спасибо, стало немного понятнее. Итак, действительно ли «усреднение по радиальному направлению» означает «усреднение по радиальным квантовым числам», как здесь $⟨ л м | \bar{{\hat{Т}}_{я к}} | л м^{'} ⟩ "=" \sum_{н} ⟨ н л м | {\hat{Т}}_{я к} | н л м^{'} ⟩ ?$ $\langle lm|\overline{\hat T_{ik}}|lm'\rangle=\sum_n\langle nlm|\hat T_{ik}|nlm'\rangle?$ Или вы на самом деле имеете в виду интеграл по направлению пространства конфигурации? $r$ ? (А может это как-то так же, и я что-то путаю?)

Эмилио Писанти · Answer 2

Извиняюсь, не очень внимательно прочитал вопрос. Я оставляю свой старый ответ ниже, так как он напрямую отвечает на заголовок и, следовательно, может помочь будущим посетителям.

Это выглядит немного небрежно (хотя я не стал бы винить в этом L&L, если его нет в русском оригинале, но моя испанская копия имеет эквивалентную форму). Я бы прочитал текст как

Требуемое среднее значение — это среднее значение оператора, которое может быть выражено через оператор $\mathbf{\hat l}$ один.

Это действительно правильное утверждение, хотя для этого вам понадобится довольно громоздкое оборудование. Волновая функция $\psi(\mathbf r)$ можно разделить на $r$ -зависимая часть и волновая функция на единичной сфере. Компоненты $n_i$ равны сферическим гармоникам на сфере, а это означает, что они являются функцией компонент углового момента. Таким образом, их произведение находится в алгебре, но, поскольку оно преобразуется особым образом, оно сводится к комбинациям, заявленным L&L.

Их уравнение

$\bar{н_{я} н_{к}} - \frac{1}{3} {дельта}_{я к} "=" а [{\hat{л}}_{я} {\hat{л}}_{к} + {\hat{л}}_{к} {\hat{л}}_{я} - \frac{2}{3} {дельта}_{я к} л (л + 1)]$ $\overline{n_in_k}-\frac13\delta_{ik}=a[\hat l_i\hat l_k+\hat l_k\hat l_i-\frac23\delta_{ik}l(l+1)]$

определенно есть операторы с обеих сторон, поэтому я думаю, что можно с уверенностью отнести это к причуде языка (или даже перевода).

Любое комплексное число можно рассматривать как оператор.

Точнее, любое комплексное число $z$ действует на государства $|\psi\rangle\in\mathcal H$ естественным образом через скалярное умножение:

| ψ ⟩ \mapsto г | ψ ⟩ .

$|\psi\rangle\mapsto z|\psi\rangle.$ Этот оператор является естественным вложением

z

$z$ в пространство линейных операторов на

H

$\mathcal H$ . Как отмечают Ландау и Лифшиц, это просто

z

$z$ умножить на ¹ тождественный оператор

1

$\mathbf 1$ , который отправляет любой

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ к себе.

Там действительно не так много больше. Вы просто применяете эту общую концепцию к конкретному комплексному числу $\overline\kappa\in\mathbb C$ .

^{¹ Где «раз», конечно, скалярное умножение в $\mathcal L(\mathcal H)$ когда оно рассматривается как векторное пространство.}

@EmilioPisanty, к сожалению, проблема не в этом, см. мое замечание. Книга действительно была немного нестрогой и приравнивала оператор к его собственному значению.

Каким образом среднее значение величины может быть оператором?

Руслан

hft

София

Ответы (2)

Qмеханик

Руслан

Qмеханик

Руслан

Эмилио Писанти

София

Собственные состояния орбитального углового момента в представлении |r⟩|r⟩|\mathbf{r}\rangle

Ожидаемые значения операторов LxLxL_x и LyLyL_y в собственных состояниях LzLzL_z

L^xL^x\hat{L}_{x} и L^yL^y\hat{L}_{y} не коммутируют... или коммутируют?

Проблема углового момента в квантовой механике

Странное обозначение бюстгальтера

Чему равно частное двух квантовых операторов?

Ограничение на квантовые числа орбитального углового момента

Ожидаемое значение оператора положения для состояний углового момента

Является ли собственная функция оператора углового момента единственной?

Почему sl(2,C)sl(2,C)sl(2,\mathbb{C}), повышающие и понижающие операторы J±J±J_{\pm}, гарантируют квантование собственных значений?