Итак, я весь последний час ломал себе голову, пытаясь понять, как вычислить k в такой задаче:
На пружине, свисающей с потолка, закреплен груз массой 10 кг. Его отпускают, дают ему возможность колебаться и он останавливается в новой точке равновесия на 10 метров ниже естественной длины пружины. Каково значение жесткости k этой пружины?
Есть два подхода, которые дают мне разные ответы:
1: Мы можем использовать силы: в равновесии сила тяжести будет равна силе пружины, поэтому mg = kx. Это дает значение (10)(9,8) = k (10) или k = 9,8.
2: Мы можем использовать потенциальную энергию. Прежде чем масса высвобождается, она обладает гравитационной потенциальной энергией; при новом равновесии у него МЕНЬШЕ гравитационного PE, но больше эластичного PE, так как он теперь растянут. Эластичный PE должен быть преобразован из гравитационного PE, поэтому dPE (упругий) = dPE (гравитационный). Поскольку изменение высоты такое же, как изменение растяжения, h в mgh = x для растяжения пружины. Так:
dPE (упругий) = dPE (гравитационный), h = x
.5кх^2 = мгх
.5kx = мг
k = 2 мг/х
Подключив, мы получим k = 2(10)(9,8)/10 или k = 19,6 , что в два раза больше, чем k, найденное другим методом.
Должно быть, я что-то упустил, почему я получаю два разных значения для k в зависимости от того, какой подход я использую?
После того, как вы отпустите массу, она ускорится вниз и в положении статического равновесия потеряет
гравитационной потенциальной энергии, в то же время приобретая
упругая потенциальная энергия и
кинетическая энергия.
Таким образом, масса выходит за пределы статического положения равновесия и, наконец, останавливается, когда растяжение прекращается.
.
На этой позиции он проиграл
гравитационная потенциальная энергия, в то же время приобретая
упругая потенциальная энергия.
Приравнивание этих двух энергий дает то же значение жесткости пружины, что и при использовании статического удлинения.
.
Затем масса колеблется вокруг положения статического равновесия с уменьшенной амплитудой, в конечном итоге останавливаясь в статическом равновесии, когда система пружины-массы теряет половину своей механической энергии из-за сил сопротивления, действующих на систему.
В этом эксперименте энергия не сохраняется — вы отпускаете пружину, и пружина колеблется, теряет энергию при опускании и заканчивается в новом равновесии после потери энергии. вы рассчитали точку поворота блока, если бы пружина была без трения, и правильно определили, что это ниже, чем новое равновесие.