Как рассчитать потенциальную энергию связанных осцилляторов?

Как предложил @mikestone в комментариях, самый простой способ решить эту проблему — суммировать потенциальные энергии всех пружин.

Однако я хотел бы прокомментировать описанный в вопросе подход: уравнения движения можно записать в виде

$$m\ddot{x}_1 = -\frac{\partial V(x_1, x_2)}{\partial x_1} = -2kx_1 + kx_2,\\ m\ddot{x}_2 = -\frac{\partial V(x_1, x_2)}{\partial x_2} = -2kx_2 + kx_1,$$ где$V(x_1, x_2)$потенциальная энергия двух осцилляторов. Таким образом, у нас есть два дифференциальных уравнения в частных производных (pde) для этой потенциальной энергии. Интегрируя первый по отношению к$x_1$мы получаем: $$V(x_1, x_2) = kx_1^2 - kx_2x_1 + C(x_2),$$ т.е. мы получаем$V(x_1, x_2)$с точностью до неизвестной постоянной,$C(x_2)$, что может зависеть от$x_2$(поскольку дифференциальное уравнение относится к$x_1$). Подставляя это во второе уравнение, получаем: $$\frac{\partial V(x_1, x_2)}{\partial x_2} = -kx_1 +\frac{dC(x_2)}{dx_2} = 2kx_2 - kx_1,$$ то есть $$\frac{dC(x_2)}{dx_2} = 2kx_2 \Rightarrow C(x_2) = kx_2^2$$ (с точностью до константы, не зависящей ни от$x_1$или$x_2$), и мы получаем $$V(x_1, x_2) = kx_1^2 + kx_2^2 -kx_1x_2.$$

Вопрос можно решить без интеграции. Потенциальная энергия хранится только в пружинах.

Пусть самая правая пружина растянута на величину$x_2$, а Крайняя левая пружина растянута на величину$x_1$тогда Средняя пружина растянется на величину$(x_2 - x_1)$.($As\ shown\ in \ figure$)

$$(2a +x_2)-(a+ x_1)= a+ x_2 - x_1 \qquad (Proof)$$

где а - длина пружины.

Потенциальная энергия пружины определяется выражением$V(x) = \frac{1}{2}kx^{2}$

Потенциальная энергия крайней левой пружины$V(x_1) = \frac{1}{2}kx^{2}_1 \qquad ...(1)$

Потенциальная энергия крайней правой пружины$V(x_2) = \frac{1}{2}kx^{2}_2 \qquad ...(2)$

Потенциальная энергия Срединного источника$V(x_3) = \frac{1}{2}k(x_1-x_2)^{2}\qquad ...(3)$

Добавление уравнений (1), (2) и (3)

$$V(x)=V(x_1)+V(x_2)+V(x_3)$$

$$V(x) = kx^{2}_1 + kx^{2}_2 - kx_1x_2$$

Вот немного другой взгляд на чей-то ответ, который не предполагает, что пружинные константы обязательно одинаковы. Он также использует метод контроля , основанный на идее, что потенциальная энергия пружины$\frac{1}{2}\kappa \times \hbox{stretch}^2$(или сжатие).

Для вашей первой пружины слева растяжение будет происходить из-за смещения$x_1$так$V_1=\frac{1}{2}\kappa_1 x_1^2$. Для пружины посередине растяжка$\vert x_1-x_2\vert$так что вы получите$V_2=\frac{1}{2}\kappa_2(x_1-x_2)^2$. Для весны справа$V_3=\frac{1}{2}\kappa_3 x_2^2$.

Тогда остается только найти$\kappa_i$используя уравнения движения:

$$\begin{align} m\ddot{x_1}&=-\kappa_1 x_1 -\kappa_2 (x_1-x_2)=-(\kappa_1+\kappa_2)x_2+\kappa_2x_2\, ,\\ m\ddot{x_2}&=\kappa_2(x_1-x_2)-\kappa_3 x_2=-(\kappa_2+\kappa_3)x_2+\kappa_2 x_1 \end{align}$$

Прямое сравнение с вашими EOM дает$\kappa_2=\kappa_1=\kappa_3=k$поэтому чистая потенциальная энергия равна

$$V=V_1+V_2+V_3=\frac{1}{2}k\left(x_1^2+x_2^2+(x_1-x_2)^2\right)\, .$$