Подвешенная масса от пружины / Установка потенциала на 0

Я работаю над проблемой из Книги классической механики Тейлора, и в ней выделена пара проблем, которые я так и не осознал (несмотря на хорошие оценки по механике для продвинутых студентов и EM).

Вот вопросы:

а ) Покажите, что пружина, подчиняющаяся закону Гука, имеет соответствующую потенциальную энергию$U = \frac{1}{2}kx^2$если мы выберем$U$быть равным нулю в положении равновесия.

б) Если эту пружину подвесить вертикально с массой$m$подвешенный к другому концу и вынужденный двигаться только в вертикальном направлении, найдите продолжение$x_0$нового положения равновесия. Покажите, что полный потенциал (пружина плюс гравитация) имеет тот же вид$\frac{1}{2}ky^2$если мы используем координату$y$равно смещению, измеренному от нового положения равновесия в$x=x_0$, и переопределим нашу опорную точку так, чтобы$U=0$в$y=0$.

Что я знаю

Я знаю, что мы определяем потенциал поля как работу, совершаемую для перемещения объекта через поле от точки отсчета.$x_0$при котором мы определяем потенциал как$0$

$U(\vec{r}) = -\int_{\vec{r_0}} ^{\vec{r}}\vec{F}\cdot{d\vec{r}}~~$

Что мне непонятно Что мне не ясно, так это то, что мы на самом деле делаем математически, когда «устанавливаем$U =0$". Я думал об этом несколькими разными способами, и я никогда не был предельно ясным, какой из них правильный:

1 ) Я думал об этом как о применении основной теоремы исчисления.$U(\vec{r}) = -\int_{\vec{r_0}} ^{\vec{r}}\vec{F}\cdot{d\vec{r}} = -[U(\vec{r}) - U(\vec{r_0})]~~$

Это последнее равенство, где я немного запутался (очевидно, потому что я только что доказал, что что-то равно своему собственному аддитивному обратному)

Сейчас,$U(r_0)$исчезает, потому что мы выбрали его равным нулю.

Было указано , что это ошибочно, потому что первообразная силы, оцененной в точке, сама по себе не является потенциалом.

2) В качестве альтернативы мы меняем нашу систему координат так, чтобы поместить начало координат там, где$U = 0$. Предполагая, что все потенциалы зависят от положения, так что потенциал равен нулю, когда$\vec{r} = 0$, это прекрасно работает, но я не знаю, существуют ли экзотические потенциалы, зависящие от$\vec{r}$каким-то другим способом.

Моя попытка решения

1)

Если я зафиксирую свои координатные оси так, чтобы нефиксированный конец пружины лежал в начале координат ($\vec{r}= 0$), получаем, что работа по растяжению пружины равна:

$\int_0^x \vec{F} \cdot d\vec{r} = -\int_0^x kx'dx' = -\frac{kx'^2}{2}\big|_0 ^ x = -\frac{kx^2}{2}$.

Так что это работает, но мне не ясно, правильно ли я «устанавливаю$U$до нуля в контрольной точке.

2)

Найти новое положение равновесия просто; Мне нужно знать, когда сила тяжести равна силе пружины; это когда

Итак, наш новый$x_0 = \frac{mg}{k}$

Следующая часть меня сбивает с толку; если мы установим наш новый нулевой потенциал в новое положение равновесия, и тогда сила на пружине будет$mg - ky$, где$y$— это смещение от этого нового равновесия, и я опускаю тот факт, что это векторы, поскольку мы ограничены одномерным движением. Тогда потенциал для любого заданного смещения равен$\int_0^y (mg- ky )dy = mgy -\frac{ky^2}{2}$. Но я пытаюсь показать, что общий потенциал имеет вид$-\frac{ky^2}{2}$. Что мне не хватает?

Было отмечено, что сила, действующая на пружину, на самом деле зависит от ее смещения относительно длины покоя. Таким образом, потенциал должен быть$\int_0^y (mg- k(y-\frac{mg}{k})dy = -\frac{ky^2}{2}$

Буду очень признателен за любые разъяснения по этим темам.