Получение релятивистского доплеровского сдвига по длине волны? [закрыто]

Намекать :

Предположим, два световых импульса$p'_1$и$p'_2$излучаются последовательно от Звезды к Земле в моменты времени$t'_1$и$t'_2$, разделенные бесконечно малым интервалом времени$\mathrm{d}t'=t'_2\!-\!t'_1$. Время$t'$это время в системе покоя$\mathrm{S'}$Звезды.

Эти два события происходят в кадре покоя$\mathrm{S}$Земли в моменты времени$t_1$и$t_2$, кроме растянутого бесконечно малого интервала времени$\mathrm{d}t=t_2\!-\!t_1=\gamma\left(v\right)\mathrm{d}t'$. Время$t$это время в системе покоя$\mathrm{S}$земли.

Теперь пусть два световых импульса достигают Земли в моменты земного времени.$\hat{t}_{\!1}$и$\hat{t}_{\!2}$, разделенные бесконечно малым интервалом времени$\mathrm{d}\hat{t}=\hat{t}_{\!2}\!-\!\hat{t}_{\!1}$. Если бы Звезда покоилась относительно Земли или ее движение было бы поперечным (нет радиального движения:$v_\mathrm{r}=0$) затем$\mathrm{d}\hat{t}=\mathrm{d}t$. Но из-за радиального движения Звезды относительно Земли 2-й импульс, испущенный позже, должен пройти большее расстояние, чем 1-й импульс, если Звезда удаляется, или должен пройти меньшее расстояние, чем 1-й импульс, если Звезда Приближается. В первом случае$\mathrm{d}\hat{t}>\mathrm{d}t$. Во втором случае, показанном на рисунке,$\mathrm{d}\hat{t}<\mathrm{d}t$.

Итак, если бы вы могли оценить временной интервал$\mathrm{d}\hat{t}$тогда вы решите проблему, поскольку временные интервалы обратно пропорциональны частотам, которые пропорциональны длинам волн:

$$\begin{equation} \dfrac{\mathrm{d}\hat{t}}{\mathrm{d}t'}=\dfrac{\nu'}{\nu}=\dfrac{\lambda}{\lambda'}=\dfrac{\lambda \text{(observed)}}{\lambda'\text{(emitted)}} \end{equation}$$

---

$===================================================$

Решение 1 (связанное с подсказкой)

Как показано на рисунке 02 выше

$$\begin{equation} \mathrm{d}t=t_2\!-\!t_1=\gamma(v)\left(t'_{\!2}\!-\!t'_{\!1}\right) =\gamma(v)\mathrm{d}t' \tag{1.01} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathrm{dr}\approx \mathrm{r_2}-\mathrm{r_1}=-v_\mathrm{r}\,\mathrm{d}t=-v \cos\theta\, \gamma(v)\,\mathrm{d}t' \tag{1.02} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathrm{d}\hat{t}=\hat{t}_2\!-\!\hat{t}_1=\left(t_2\!+\!\dfrac{ \mathrm{r}_2}{c}\right)\!-\!\left( t_1\!+\!\dfrac{ \mathrm{r}_1}{c} \right)=\mathrm{d}t\!+\!\dfrac{\mathrm{dr}}{c} =\gamma(v)\mathrm{d}t'\!-\!\dfrac{v \cos\theta\, \gamma(v)\,\mathrm{d}t' }{c} \Longrightarrow \nonumber \end{equation}$$

$$\begin{equation} \dfrac{\mathrm{d}\hat{t}}{\mathrm{d}t' } = \dfrac{1\!-\!\dfrac{v \cos\theta}{c}}{ \sqrt{1\!-\!\dfrac{v^2}{c^2}}} \stackrel{\left(\beta=\tfrac{v}{c}\right)}{=\!=\!=}\dfrac{1\!-\!\beta \cos\theta}{\sqrt{1\!-\!\beta^2}}=\dfrac{\nu' \text{(emitted)}}{\nu\:\text{(observed)}} =\dfrac{\lambda\:\text{(observed)}}{\lambda' \text{(emitted)}} \tag{1.03} \end{equation}$$ КЭД.

$===================================================$

Решение 2

Ссылка: Мой ответ в Об отношениях де Бройля

Для плоской волны 4-вектор угловой частоты

$$\begin{equation} \boldsymbol{\Omega} \equiv \left(\omega,c\mathbf{k} \right) \tag{2.01} \end{equation}$$ преобразуется между кадрами при преобразовании Лоренца. Это доказывается в ссылке для более общей конфигурации из двух кадров (см. рисунок в конце ссылки). В (2.01) $$\begin{equation} \omega= 2\pi\nu \tag{2.02} \end{equation}$$ - угловая частота и $\:\nu\:$Частота. Также $$\begin{equation} \mathbf{k}= \dfrac{ 2\pi}{\lambda} \;\mathbf{m} , \qquad \Vert \mathbf{m}\Vert =1 \tag{2.03} \end{equation}$$ является волновым 3-вектором и $\:\lambda\:$длина волны. Плоская волна $^\prime$ $^\prime$распространяется $^\prime$ $^\prime$с вектором скорости $$\begin{equation} \mathbf{w}= \dfrac{ \omega}{\Vert \mathbf{k}\Vert } \;\mathbf{m}=\lambda\nu\;\mathbf{m} = \dfrac{ \omega}{\Vert \mathbf{k}\Vert^{2}}\mathbf{k}, \qquad \Vert \mathbf{w}\Vert \equiv \mathrm{w} = \dfrac{ \omega}{\Vert \mathbf{k}\Vert }=\lambda\nu \tag{2.04} \end{equation}$$ Из уравнения Лоренца (A-14b) в ссылке имеем $$\begin{equation} \omega^{\boldsymbol{\prime}} =\gamma\left(\omega\!+\!\dfrac{ \mathbf{v}\boldsymbol{\cdot}c\mathbf{k}}{c}\right) \tag{2.05} \end{equation}$$ Для легкой волны $\: \mathbf{k}=(2\pi\nu/c)\mathbf{m}\:$так $$\begin{equation} \nu^{\boldsymbol{\prime}} =\gamma\left(1\!+\!\dfrac{ \mathbf{v}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{m}}{c}\right)\nu \tag{2.06} \end{equation}$$ В приведенном выше уравнении $\:\mathbf{v}=\!-\boldsymbol{v}\:$— вектор скорости Земли относительно Звезды, вектор $\:\boldsymbol{v}\:$показано на рисунках-01,-02 и $\:\mathbf{m}\:$единичный вектор, параллельный его радиальной составляющей $\:\boldsymbol{v}_{\mathrm{r}}\:$ $$\begin{equation} \mathbf{m}=\dfrac{\boldsymbol{v}_{\mathrm{r}}}{\Vert\boldsymbol{v}_{\mathrm{r}}\Vert} \tag{2.07} \end{equation}$$ так что наконец $$\begin{equation} \dfrac{\nu' \text{(emitted)}}{\nu\:\text{(observed)}}=\gamma\left(1\!-\!\dfrac{ v \cos \theta}{c}\right)= \dfrac{1\!-\!\dfrac{v \cos\theta}{c}}{ \sqrt{1\!-\!\dfrac{v^2}{c^2}}} \tag{2.08} \end{equation}$$