Получение уравнения Эйлера-Лагранжа из действия с ограничением - топологическая сигма-модель Виттена

Question

Получение уравнения Эйлера-Лагранжа из действия с ограничением - топологическая сигма-модель Виттена

Физика
теория поля
сигма-модели
ограниченная динамика
вариационное исчисление
топологическая теория поля

теоретик

Действие топологической сигма-модели Виттена (определенной на мировом листе, $\Sigma$ , с целевым пространством почти комплексное многообразие, обозначаемое $X$ ) принимает вид

\begin{matrix} (2.14) & С "=" \int г^{2} о (- \frac{1}{4} {ЧАС}^{α я} {ЧАС}_{α я} + {ЧАС}_{я}^{α} \partial_{α} {ты}^{я} + \dots), \end{matrix}

$S=\int d^2\sigma\big(-\frac{1}{4}H^{\alpha i}H_{\alpha i}+H^{\alpha }_i\partial_{\alpha}u^i+\ldots\big), \tag{2.14}$ как показано в уравнении 2.14 его статьи. Вспомогательные поля

H^{α i}

$H^{\alpha i}$ также подчиняются ограничению «самодвойственности»

\begin{matrix} (2.5) & {ЧАС}^{α я} "=" {ε^{α}}_{β} Дж {^{я}}_{Дж} {ЧАС}^{β Дж}, \end{matrix}

$H^{\alpha i}={\varepsilon^{\alpha}}_{\beta} J{^{i}}_jH^{\beta j}, \tag{2.5}$ где

ε

$\varepsilon$ и

J

$J$ являются соответственно почти сложными структурами

Σ

$\Sigma$ и

X

$X$ .

Теперь уравнение Эйлера-Лагранжа для $H_{\alpha}^{ i}$ дается в уравнении 2.15 как

\begin{matrix} (2.15) & {ЧАС}_{α}^{я} "=" \partial_{α} {ты}^{я} + ε_{α β} {Дж}^{я}_{Дж} \partial^{β} {ты}^{Дж} . \end{matrix}

$H^i_{\alpha}=\partial_{\alpha}u^i+\varepsilon_{\alpha\beta}{J^{i}}_j\partial^{\beta}u^j. \tag{2.15}$ Как это показать? Я попытался включить ограничение «самодвойственности» в действие через множители Лагранжа, но мне не удалось таким образом получить правильное уравнение Эйлера-Лагранжа.

Ответы (2)

Получение уравнения Эйлера-Лагранжа из действия с ограничением - топологическая сигма-модель Виттена

Qмеханик · Answer 1

Вот один из способов, возможно, не самый короткий, но, по крайней мере, последовательный и, надеюсь, прозрачный.

Прежде чем мы начнем, давайте введем, надеюсь, очевидное матричное обозначение
${Дж}^{я}_{Дж} ⟶ Дж$ $J^i{}_j\quad \longrightarrow \quad J$ $ε^{α}_{β} ⟶ ε$ $\varepsilon^{\alpha}{}_{\beta}\quad \longrightarrow \quad \varepsilon$ ${ты}^{я}_{, α} ⟶ {ты}_{,}$ $u^i{}_{,\alpha} \quad \longrightarrow \quad u_{,}$ ${ЧАС}^{α}_{я} ⟶ ЧАС$ $H^{\alpha}{}_i\quad \longrightarrow \quad H$ $\begin{matrix} (А) & {ЧАС}^{я}_{α} ⟶ ЧАС \end{matrix}$ $H^i{}_{\alpha}\quad \longrightarrow \quad H \tag{A}$ и т. д., для простоты обозначений. (Последние две строки в уравнении (А) могут показаться двусмысленными, но на практике их можно отличить вне контекста.)
Напишите тензорное поле Виттена
$\begin{matrix} (Б) & ЧАС "=" \frac{1}{2} (\tilde{ЧАС} - ε \tilde{ЧАС} Дж) \end{matrix}$ $H ~:=~\frac{1}{2} ( \tilde{H} - \varepsilon \tilde{H} J ) \tag{B}$ в терминах неограниченного тензорного поля $\tilde{H}$ с однотипными индексами. (Возможно, неожиданный знак минус в уравнении (B) связан с порядком матриц.)
Легко проверить, что определение (B) явно самодвойственно
$\begin{matrix} (2.5) & ЧАС "=" - ε ЧАС Дж, \end{matrix}$ $H ~=~ -\varepsilon H J, \tag{2.5}$ используя $\begin{matrix} (С) & {Дж}^{2} "=" - 1, ε^{2} "=" - 1 . \end{matrix}$ $J^2 ~=~ -{\bf 1}, \qquad \varepsilon^2 ~=~ -{\bf 1}. \tag{C}$
Лагранжева плотность становится
$\begin{matrix} (2.14) & л "=" т р (- \frac{1}{4} {ЧАС}^{2} + ЧАС {ты}_{,}) + \dots \overset{(Б)}{"="} \frac{1}{2} т р (- \frac{1}{4} {\tilde{ЧАС}}^{2} + \frac{1}{4} ε \tilde{ЧАС} Дж \tilde{ЧАС} + (\tilde{ЧАС} - ε \tilde{ЧАС} Дж) {ты}_{,}) + \dots . \end{matrix}$ ${\cal L}~:=~{\rm tr}\left(-\frac{1}{4} H^2 + H u_{,}\right) +\ldots ~\stackrel{(B)}{=}~\frac{1}{2}{\rm tr}\left(-\frac{1}{4} \tilde{H}^2 + \frac{1}{4} \varepsilon \tilde{H} J \tilde{H} + ( \tilde{H} - \varepsilon \tilde{H} J ) u_{,}\right) +\ldots.\tag{2.14}$
Варьировать плотность лагранжиана (2.14) относительно неограниченное тензорное поле:
$\begin{matrix} (Д) & 0 \approx дельта л \overset{(2.14)}{"="} \frac{1}{2} т р {(- \frac{1}{2} (\tilde{ЧАС} - Дж \tilde{ЧАС} ε) + ({ты}_{,} - Дж {ты}_{,} ε)) дельта \tilde{ЧАС}} . \end{matrix}$ $0~\approx~ \delta {\cal L}~\stackrel{(2.14)}{=}~\frac{1}{2}{\rm tr}\left\{\left(- \frac{1}{2}(\tilde{H} - J \tilde{H}\varepsilon ) + (u_{,} - J u_{,}\varepsilon)\right)\delta \tilde{H}\right\}. \tag{D}$ Другими словами, $\begin{matrix} (2.15) & ЧАС \overset{(Б)}{"="} \frac{1}{2} (\tilde{ЧАС} - Дж \tilde{ЧАС} ε) \overset{(Д)}{\approx} {ты}_{,} - Дж {ты}_{,} ε \end{matrix}$ $H~\stackrel{(B)}{=}~\frac{1}{2} (\tilde{H} - J \tilde{H}\varepsilon )~\stackrel{(D)}{\approx}~u_{,} - J u_{,}\varepsilon \tag{2.15}$ которое является искомым уравнением OP. (Здесь $\approx$ символ означает равенство по модулю eoms.)

Я не понимаю, почему равенство должно выполняться по модулю? Разве мы не выводим уравнение движения?
Так что вы имели в виду, что $\approx$ используется потому, что уравнение (2.15) является уравнением движения, я прав?
Qmechanic, мне что-то непонятно. На классическом уровне ваш вывод работает отлично. Но как насчет интегралов по траекториям, которые являются главной заботой Виттена (уравнение (2.15) приводит к локализации интегралов по траекториям в пространстве модулей голоморфных отображений). Заменой переменных (B) должно быть соответствующее изменение меры интеграла по путям, захваченное якобианом $j$ . Чтобы реализовать ваш вывод, det $j$ должно быть постоянным или, по крайней мере, $\tilde{H}$ -независимый (иначе у нас не будет интеграла Гаусса по $\tilde{H}$ ), но показать не могу. Не могли бы вы пояснить это?

Алекс Нельсон · Answer 2

Разве это не трюк?

\begin{matrix} (2.5) & {ЧАС}^{α я} "=" {ε^{α}}_{β} Дж {^{я}}_{Дж} {ЧАС}^{β Дж}, \end{matrix}

$H^{\alpha i}={\varepsilon^{\alpha}}_{\beta} J{^{i}}_jH^{\beta j},\tag{2.5}$ и обратите внимание

{ЧАС}^{α я} "=" \frac{1}{2} ({ЧАС}^{α я} + {ε^{α}}_{β} Дж {^{я}}_{Дж} {ЧАС}^{β Дж})

$H^{\alpha i}=\frac{1}{2}\left(H^{\alpha i} + {\varepsilon^{\alpha}}_{\beta} J{^{i}}_jH^{\beta j}\right)$ затем подключите это к действию, чтобы переписать его как

С "=" \int г^{2} о (- \frac{1}{4} {ЧАС}^{α я} {ЧАС}_{α я} + \frac{1}{2} {дельта}_{я к} ({ЧАС}^{α я} + {ε^{α}}_{β} Дж {^{я}}_{Дж} {ЧАС}^{β Дж}) \partial_{α} {ты}^{к} + \dots),

$S=\int d^2\sigma\left(-\frac{1}{4}H^{\alpha i}H_{\alpha i}+\frac{1}{2}\delta_{ik}\left(H^{\alpha i} + {\varepsilon^{\alpha}}_{\beta} J{^{i}}_jH^{\beta j}\right)\partial_{\alpha}u^k+\ldots\right),$ где я использую тот факт, что сокращение по латинским индексам выполняется с использованием «метрики мирового листа», которая (по конформной инвариантности) равна

δ_{i j}

$\delta_{ij}$ .

Разве другое разложение (вместо того, что дано во втором уравнении) не приведет к другому уравнению Эйлера-Лагранжа? Например, вместо $H^{\alpha i}=\frac{1}{2}(H^{\alpha i}+H^{\alpha i})$ можно было бы использовать $H^{\alpha i}=\frac{1}{3}(H^{\alpha i})+\frac{2}{3}(H^{\alpha i})$ . Тогда, заменив (2.5) в коэффициент при $\frac{2}{3}$ даст нам выражение, отличное от второго уравнения в вашем ответе. Я думаю, что это приведет к другому уравнению Эйлера-Лагранжа.
Кроме того, латинские индексы являются индексами целевого пространства, а греческие индексы — индексами мирового листа.

Получение уравнения Эйлера-Лагранжа из действия с ограничением - топологическая сигма-модель Виттена

теоретик

Ответы (2)

Qмеханик

теоретик

теоретик

Qмеханик

теоретик

Алекс Нельсон

теоретик

теоретик

Когда числовое значение лагранжиана оценивается на оболочке как полный дифференциал?

Основные ограничения для гамильтоновых теорий поля

Канонический формализм в координатах светового конуса

Что такое нелинейное поле?

Построение лагранжиана из гамильтониана для майорановских фермионов

Всегда ли сила между солитонами с одинаковым зарядом отталкивающая?

Использовать частные или ковариантные производные при выводе уравнений теории поля?

Теорема Нётер в теории поля: фактор Якоби

Определение лагранжиана в (классической) теории поля

Репараметризационная инвариантность в скалярной КТП: что именно это означает?