Теорема Нётер в теории поля: фактор Якоби

После моего предыдущего вопроса в этом посте Phys.SE у меня есть еще один вопрос относительно деривации, с которой я борюсь!

Учитывая изменение лагранжевой плотности для$x'=x+\delta x$и$\phi'(x')=\phi(x)+\delta \phi (x)$.

$$\begin{equation} \mathcal L'(x')=\mathcal L'(x) +\frac {d \mathcal L}{d x^i}\delta x^i=\mathcal L(x)+\underbrace{\mathcal L'(x)-\mathcal L (x)}_{\bar \delta \mathcal L(x)}+\frac {d \mathcal L}{d x^i}\delta x^i \end{equation}$$ Таким образом, изменение действия определяется выражением $$\begin{equation} \delta S=\int [\mathcal L(x)+\bar \delta \mathcal L(x)+\frac {d \mathcal L}{d x^i}\delta x^i ]dx'-\int \mathcal L(x) dx \end{equation}$$
Как тогда мы получаем следующее, $$\begin{equation} \delta S=\int \big[\bar \delta \mathcal L(x)+\frac{d }{d x^i}(\mathcal L\delta x^i)\big]dx \end{equation}$$

Я понимаю, что это связано с якобианом преобразования, которое мы приближаем

$$dx'=dx(1+\partial _i\delta x^i+\dots ),$$ но как это следует и что именно это означает (еще раз извините, если это очевидно).