Попытка показать, что ток сохраняется

Question

Попытка показать, что ток сохраняется

Марион

$\newcommand{\p}{\partial}$ Я пытаюсь показать, что текущий $J^{\mu} = (\gamma_{\nu}\partial^{\nu} \phi - m\phi)\gamma^{\mu}\psi$ сохраняется для всех полей, удовлетворяющих уравнениям Клейна-Гордона и Дирака:

\begin{matrix} (КГ) & (\partial_{мю} \partial^{мю} - м^{2}) ф "=" 0 \end{matrix}

$(\partial_{\mu}\partial^{\mu} - m^2)\phi=0 \tag{KG}$

\begin{matrix} (Дрк) & (γ_{мю} \partial^{мю} - м) ψ "=" 0 \end{matrix}

$(\gamma_{\mu}\partial^{\mu}-m)\psi=0 \tag{Drc}$ Итак, я начинаю с производной, поскольку мы знаем, что сохраняющийся ток удовлетворяет условию

\partial_{μ} J^{μ} = 0

$\partial_{\mu}J^{\mu}=0$ . Для удобства, так как я не знаю, как здесь писать количество с косой чертой, я определяю

D = γ \cdot \partial

$D = \gamma \cdot \partial$ . Поэтому у меня есть

\begin{aligned} \partial_{мю} {Дж}^{мю} & "=" \partial_{мю} (Д ф γ^{мю} ψ) + Д ф \partial_{мю} γ^{мю} ψ - м (\partial_{мю} ф) γ^{мю} ψ - м ф (\partial_{мю} γ^{мю} ψ) \\ "=" (Д Д ф) ψ + Д ф Д ψ - м (Д ф) ψ - м ф (Д ψ) \\ "=" (Д Д ф) ψ + Д ф Д ψ - Д (м ф ψ) \\ "=" Д (Д ф ψ) - Д ф Д ψ + Д ф Д ψ - Д (м ф ψ) \\ "=" Д [(Д ф - м ф) ψ] \end{aligned}

$\begin{aligned} \p_{\mu}J^{\mu} &= \p_{\mu}(D\phi \gamma^{\mu}\psi) + D\phi \p_{\mu}\gamma^{\mu}\psi - m(\p_{\mu}\phi) \gamma^{\mu}\psi - m\phi(\p_{\mu}\gamma^{\mu}\psi) \\ &= (DD\phi)\psi + D\phi D\psi - m(D\phi) \psi - m\phi (D\psi) \\ &= (DD\phi)\psi + D\phi D\psi - D(m\phi \psi) \\ &= D(D\phi \, \psi) - D\phi D\psi +D\phi D\psi - D(m\phi \psi) \\ &= D[(D\phi-m\phi)\psi] \end{aligned}$ но, как вы можете видеть, скаляр находится вместо спинора, и поэтому я не могу использовать (Drc). Любые мысли/помощь по этому поводу?

Прахар

Вы уверены, что это не безмассовое уравнение Дирака?

Марион

Ну, я беру это из книги, поэтому я скопировал вопрос точно так, как я его вижу. В конкретном учебнике SUPERGRAVITY, стр. 109.

Прахар

Извините, я просчитался. Для безмассового это не сработает.

Ответы (1)

Попытка показать, что ток сохраняется

Вы уверены, что это не безмассовое уравнение Дирака?
Ну, я беру это из книги, поэтому я скопировал вопрос точно так, как я его вижу. В конкретном учебнике SUPERGRAVITY, стр. 109.
Извините, я просчитался. Для безмассового это не сработает.

Джан Абр · Answer 1

\begin{aligned} \partial_{мю} {Дж}^{мю} & "=" γ_{ν} (\partial_{мю} \partial^{ν} ф) γ^{мю} ψ + γ_{ν} \partial^{ν} ф γ^{мю} \partial_{мю} ψ - м \partial_{мю} ф γ^{мю} ψ - м ф γ^{мю} \partial_{мю} ψ \end{aligned}

$\newcommand{\p}{\partial} \begin{aligned} \p_{\mu}J^{\mu} &= \gamma_{\nu}(\p_{\mu}\p^{\nu}\phi)\gamma^{\mu}\psi+\gamma_{\nu}\p^{\nu}\phi \gamma^{\mu}\p_{\mu}\psi-m\p_{\mu}\phi\gamma^{\mu}\psi - m\phi\gamma^{\mu}\p_{\mu}\psi\\ \end{aligned}$ Теперь первую часть можно записать как

γ_{ν} (\partial_{мю} \partial^{ν} ф) γ^{мю} ψ "=" γ_{ν} γ_{мю} (\partial^{мю} \partial^{ν} ф) ψ "=" (Д Д ф) ψ

$\gamma_{\nu}(\p_{\mu}\p^{\nu}\phi)\gamma^{\mu} \psi= \gamma_{\nu}\gamma_{\mu}(\p^{\mu}\p^{\nu}\phi)\psi=(D D\phi)\psi$ С помощью свойства (используя вашу запись,

A = γ_{μ} a^{μ} = γ^{μ} a_{μ}

$A = \gamma_{\mu}a^{\mu}=\gamma^{\mu}a_{\mu}$ ):

А Б "=" 2 (а \dot{} б) - Б А

$AB=2(a\dot{}b)-BA$ и у вас есть

D D = 2 (\partial_{μ} \partial^{μ}) - D D

$DD = 2 (\p_{\mu}\p^{\mu}) - DD$ что приводит к

D D = \partial_{μ} \partial^{μ}

$DD = \p_{\mu}\p^{\mu}$ .

Так что у тебя есть:

(\partial_{мю} \partial^{мю} ф) ψ

$(\p_{\mu}\p^{\mu}\phi)\psi$ который отменяет последнюю часть, из которой вы используете (Drc), получая:

- м ф м ψ "=" - м^{2} ф ψ

$-m\phi\ m\psi = -m^2\phi\psi$ а затем (КГ).

Осталось:

\begin{aligned} "=" γ_{ν} \partial^{ν} ф γ^{мю} \partial_{мю} ψ - м \partial_{мю} ф γ^{мю} ψ \end{aligned}

$\begin{aligned} &= \gamma_{\nu}\p^{\nu}\phi \gamma^{\mu}\p_{\mu}\psi-m\p_{\mu}\phi\gamma^{\mu}\psi\\ \end{aligned}$ Используя (Drc) в первой части и изменив индекс отключения суммирования:

\begin{aligned} "=" γ_{ν} \partial^{ν} ф м ψ - м \partial_{мю} ф γ^{мю} ψ \\ "=" м Д ф ψ - м Д ф ψ \\ "=" 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} &= \gamma_{\nu}\p^{\nu}\phi m \psi-m\p_{\mu}\phi\gamma^{\mu}\psi\\ &= m D\phi \psi - m D \phi\psi\\ &=0 \end{aligned}$ Я не должен был делать ошибок. Не стесняйтесь спрашивать или поправлять меня.

Привет и спасибо за ваш ответ. Я подробно расскажу об этом.
Дайте мне знать, если это работает для вас или вам нужны ссылки на то, что я написал.
Ссылки в любом случае будут полезны для меня и других читателей. Не будете ли вы так любезны предоставить их?

Попытка показать, что ток сохраняется

Марион

Прахар

Марион

Прахар

Ответы (1)

Джан Абр

Марион

Джан Абр

Марион

Как вывести сохраняющийся ток уравнения Клейна-Гордона?

Сопротивление и ток

Практика AP Physics Вопрос экзамена B относительно импульса [закрыто]

Канонический формализм в координатах светового конуса

Филдс и третий закон Ньютона

Передача электроэнергии

Лагранжиан скалярного поля в искривленном пространстве-времени

Угловой момент с изменяющимся моментом инерции

Масса, висящая под столом: проблема от Гольдштейна [закрыто]

Чему равен импульс неупругого и упругого ударов?